Theorem addpiord 5077

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition.

Assertion

Ref	Expression
addpiord	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 3274	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> <.A, B>. e. (N. X. N.))
2		fvres 3791	. . 3 |- (<.A, B>. e. (N. X. N.) -> (( +o |` (N. X. N.))` <.A, B>.) = ( +o ` <.A, B>.))
3		df-opr 4023	. . . 4 |- (A +N B) = ( +N ` <.A, B>.)
4		df-pli 5066	. . . . 5 |- +N = ( +o |` (N. X. N.))
5	4	fveq1i 3782	. . . 4 |- ( +N ` <.A, B>.) = (( +o |` (N. X. N.))` <.A, B>.)
6	3, 5	eqtri 1542	. . 3 |- (A +N B) = (( +o |` (N. X. N.))` <.A, B>.)
7		df-opr 4023	. . 3 |- (A +o B) = ( +o ` <.A, B>.)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 1578	. 2 |- (<.A, B>. e. (N. X. N.) -> (A +N B) = (A +o B))
9	1, 8	syl 10	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  <.cop 2463   X. cxp 3225   |` cres 3229  ` cfv 3239  (class class class)co 4021   +o coa 4188  N.cnpi 5037   +N cpli 5038

This theorem is referenced by:  addclpi 5085  addcompi 5087  addasspi 5088  distrpi 5091  addnidpi 5093  ltexpi 5094  ltapi 5095  1lt2pi 5097  indpi 5099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fv 3255  df-opr 4023  df-pli 5066

Copyright terms: Public domain