MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnqf Unicode version

Theorem addnqf 8781
Description: Domain of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnqf  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.

Proof of Theorem addnqf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqerf 8763 . . . 4  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
2 addpqf 8777 . . . 4  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3 fco 5559 . . . 4  |-  ( ( /Q : ( N. 
X.  N. ) --> Q.  /\  +pQ 
: ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q  o.  +pQ  ) :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q. )
41, 2, 3mp2an 654 . . 3  |-  ( /Q  o.  +pQ  ) :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q.
5 elpqn 8758 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
65ssriv 3312 . . . 4  |-  Q.  C_  ( N.  X.  N. )
7 xpss12 4940 . . . 4  |-  ( ( Q.  C_  ( N.  X.  N. )  /\  Q.  C_  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( Q.  X.  Q. )  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
86, 6, 7mp2an 654 . . 3  |-  ( Q. 
X.  Q. )  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
9 fssres 5569 . . 3  |-  ( ( ( /Q  o.  +pQ  ) : ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q.  /\  ( Q. 
X.  Q. )  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( /Q  o.  +pQ  )  |`  ( Q. 
X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. )
--> Q. )
104, 8, 9mp2an 654 . 2  |-  ( ( /Q  o.  +pQ  )  |`  ( Q.  X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.
11 df-plq 8747 . . 3  |-  +Q  =  ( ( /Q  o.  +pQ  )  |`  ( Q. 
X.  Q. ) )
1211feq1i 5544 . 2  |-  (  +Q  : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.  <->  ( ( /Q  o.  +pQ  )  |`  ( Q.  X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. ) --> Q. )
1310, 12mpbir 201 1  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    C_ wss 3280    X. cxp 4835    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   N.cnpi 8675    +pQ cplpq 8679   Q.cnq 8683   /Qcerq 8685    +Q cplq 8686
This theorem is referenced by:  addcomnq  8784  adderpq  8789  addassnq  8791  distrnq  8794  ltanq  8804  ltexnq  8808  nsmallnq  8810  ltbtwnnq  8811  prlem934  8866  ltaddpr  8867  ltexprlem2  8870  ltexprlem3  8871  ltexprlem4  8872  ltexprlem6  8874  ltexprlem7  8875  prlem936  8880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-1nq 8749
  Copyright terms: Public domain W3C validator