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Theorem addlimc 37305
Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
addlimc.g  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
addlimc.h  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
addlimc.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
addlimc.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
addlimc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F lim
CC  D ) )
addlimc.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( G lim
CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
addlimc  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    D( x)    E( x)    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables  a 
b  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22704 . . . 4  |-  ( F lim
CC  D )  C_  CC
2 addlimc.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F lim
CC  D ) )
31, 2sseldi 3459 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
4 limccl 22704 . . . 4  |-  ( G lim
CC  D )  C_  CC
5 addlimc.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( G lim
CC  D ) )
64, 5sseldi 3459 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
73, 6addcld 9651 . 2  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  CC )
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
108, 9fmptd 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
119, 8, 2limcmptdm 37291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
12 limcrcl 22703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  ( F lim CC  D )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
132, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
1413simp3d 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1510, 11, 14ellimc3 22708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( F lim CC  D )  <-> 
( E  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) ) ) )
162, 15mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) ) )
1716simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) )
18 rphalfcl 11316 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
19 breq2 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
2019imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  z
)  <->  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
2120rexralbidv 2945 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z )  <->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
2221rspccva 3178 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z )  /\  ( y  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
2317, 18, 22syl2an 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) )
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2624, 25fmptd 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
2726, 11, 14ellimc3 22708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( G lim CC  D )  <-> 
( I  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) ) ) )
285, 27mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) ) )
2928simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) )
30 breq2 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
3130imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  z
)  <->  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
3231rexralbidv 2945 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z )  <->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
3332rspccva 3178 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z )  /\  ( y  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
3429, 18, 33syl2an 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )
35 reeanv 2994 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )  <->  ( E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) ) ) )
3623, 34, 35sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
37 ifcl 3948 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
38373ad2ant2 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
39 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( ph  /\  y  e.  RR+ )
40 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
41 nfra1 2804 . . . . . . . . . 10  |-  F/ v A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )
42 nfra1 2804 . . . . . . . . . 10  |-  F/ v A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) )
4341, 42nfan 1983 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4439, 40, 43nf3an 1985 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
45 simp11l 1116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ph )
46 simp2 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  e.  A )
4745, 46jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( ph  /\  v  e.  A ) )
48 rpre 11297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4948adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
50493ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
51503ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  y  e.  RR )
52 simp13l 1120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
53 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  =/=  D )
5411sselda 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  v  e.  CC )
5545, 46, 54syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  e.  CC )
5645, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  D  e.  CC )
5755, 56subcld 9975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  -  D )  e.  CC )
5857abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  e.  RR )
5938rpred 11330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
60593ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR )
61 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR+ )
6261rpred 11330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
63623ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  a  e.  RR )
64633ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  a  e.  RR )
65 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )
66 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR+ )
6766rpred 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
68 min1 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
6962, 67, 68syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  a )
70693ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  a )
71703ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  a )
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 9784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)
7353, 72jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
) )
74 rsp 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( v  e.  A  ->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
7552, 46, 73, 74syl3c 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )
7647, 51, 75jca31 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) )
77 simp13r 1121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
78673ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  b  e.  RR )
79783ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  b  e.  RR )
80 min2 11473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
8162, 67, 80syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  b )
82813ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  b )
83823ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  b )
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 9784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)
8553, 84jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
) )
86 rsp 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( v  e.  A  ->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
8777, 46, 85, 86syl3c 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) )
888, 24addcld 9651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
9088, 89fmptd 6052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : A --> CC )
9190ffvelrnda 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v )  e.  CC )
9291ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( H `  v )  e.  CC )
93 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ph )
9493, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( E  +  I )  e.  CC )
9592, 94subcld 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  e.  CC )
9695abscld 13465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  e.  RR )
9710ffvelrnda 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
9897ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
9993, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  E  e.  CC )
10098, 99subcld 9975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 v )  -  E )  e.  CC )
101100abscld 13465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  e.  RR )
10226ffvelrnda 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( G `  v )  e.  CC )
103102ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( G `  v )  e.  CC )
10493, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  I  e.  CC )
105103, 104subcld 9975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( G `
 v )  -  I )  e.  CC )
106105abscld 13465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  e.  RR )
107101, 106readdcld 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  +  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  e.  RR )
108 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  y  e.  RR )
109 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ph  /\  v  e.  A )
110 nfmpt1 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
11189, 110nfcxfr 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x H
112 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
v
113111, 112nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( H `  v
)
114 nfmpt1 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
1159, 114nfcxfr 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x F
116115, 112nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( F `  v
)
117 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x  +
118 nfmpt1 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
11925, 118nfcxfr 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x G
120119, 112nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( G `  v
)
121116, 117, 120nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )
122113, 121nfeq 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )
123109, 122nfim 1975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ( ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) ) )
124 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  A  <->  v  e.  A ) )
125124anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  v  e.  A ) ) )
126 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  ( H `  x )  =  ( H `  v ) )
127 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
128 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  v  ->  ( G `  x )  =  ( G `  v ) )
129127, 128oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
)  +  ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 v )  +  ( G `  v
) ) )
130126, 129eqeq12d 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) )  <->  ( H `  v )  =  ( ( F `  v
)  +  ( G `
 v ) ) ) )
131125, 130imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) ) ) ) )
132 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
13389fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  +  C
)  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( B  +  C ) )
134132, 88, 133syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( B  +  C ) )
1359fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  x
)  =  B )
136132, 8, 135syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
137136eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( F `  x ) )
13825fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( G `  x
)  =  C )
139132, 24, 138syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  C )
140139eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =  ( G `  x ) )
141137, 140oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  =  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) )
142134, 141eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) )
143123, 131, 142chvar 2066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v )  =  ( ( F `
 v )  +  ( G `  v
) ) )
144143ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( H `  v )  =  ( ( F `  v
)  +  ( G `
 v ) ) )
145144oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )  -  ( E  +  I ) ) )
14698, 103, 99, 104addsub4d 10022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )
147145, 146eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )
148147fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  -  E )  +  ( ( G `  v
)  -  I ) ) ) )
149100, 105abstrid 13485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  +  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) ) ) )
150148, 149eqbrtrd 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  +  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) ) ) )
151 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )
152 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 10849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  +  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  <  y )
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y )
15576, 87, 154syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  v )  -  ( E  +  I )
) )  <  y
)
1561553exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  (
v  e.  A  -> 
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) ) )
15744, 156ralrimi 2823 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
158 breq2 4421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( abs `  (
v  -  D ) )  <  w  <->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )
159158anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  w
)  <->  ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) ) )
160159imbi1d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y )  <->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
161160ralbidv 2862 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y )  <->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
162161rspcev 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
16338, 157, 162syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )
1641633exp 1204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) ) ) )
165164rexlimdvv 2921 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
16636, 165mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )
167166ralrimiva 2837 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
16890, 11, 14ellimc3 22708 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E  +  I )  e.  ( H lim CC  D )  <-> 
( ( E  +  I )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) ) )
1697, 167, 168mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   ifcif 3906   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   dom cdm 4845   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527    + caddc 9531    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849    / cdiv 10258   2c2 10648   RR+crp 11291   abscabs 13265   lim CC climc 22691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fi 7922  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-fz 11772  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-rest 15273  df-topn 15274  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cnp 20168  df-xms 21259  df-ms 21260  df-limc 22695
This theorem is referenced by:  sublimc  37309  reclimc  37310  fourierdlem53  37595  fourierdlem60  37602  fourierdlem61  37603
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