Theorem addlimc 31900

Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlimc.f	|- F = ( x e. A |-> B )
addlimc.g	|- G = ( x e. A |-> C )
addlimc.h	|- H = ( x e. A |-> ( B + C ) )
addlimc.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
addlimc.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
addlimc.e	|- ( ph -> E e. ( F lim CC D ) )
addlimc.i	|- ( ph -> I e. ( G lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
addlimc	|- ( ph -> ( E + I ) e. ( H lim CC D ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)   E( x)   F( x)   G( x)   H( x)   I( x)

Proof of Theorem addlimc

Dummy variables a b v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22496	. . . 4 |- ( F lim CC D ) C_ CC
2		addlimc.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( F lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3497	. . 3 |- ( ph -> E e. CC )
4		limccl 22496	. . . 4 |- ( G lim CC D ) C_ CC
5		addlimc.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( G lim CC D ) )
6	4, 5	sseldi 3497	. . 3 |- ( ph -> I e. CC )
7	3, 6	addcld 9632	. 2 |- ( ph -> ( E + I ) e. CC )
8		addlimc.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
9		addlimc.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. A |-> B )
10	8, 9	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> CC )
11	9, 8, 2	limcmptdm 31887	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
12		limcrcl 22495	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. ( F lim CC D ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
13	2, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
14	13	simp3d 1010	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
15	10, 11, 14	ellimc3 22500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E e. ( F lim CC D ) <-> ( E e. CC /\ A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) ) ) )
16	2, 15	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E e. CC /\ A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) ) )
17	16	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) )
18		rphalfcl 11269	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
19		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z <-> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
21	20	rexralbidv 2976	. . . . . . 7 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) <-> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
22	21	rspccva 3209	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
23	17, 18, 22	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
24		addlimc.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
25		addlimc.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. A |-> C )
26	24, 25	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : A --> CC )
27	26, 11, 14	ellimc3 22500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. ( G lim CC D ) <-> ( I e. CC /\ A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) ) ) )
28	5, 27	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. CC /\ A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) ) )
29	28	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) )
30		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z <-> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
31	30	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
32	31	rexralbidv 2976	. . . . . . 7 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) <-> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
33	32	rspccva 3209	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
34	29, 18, 33	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
35		reeanv 3025	. . . . 5 |- ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
36	23, 34, 35	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
37		ifcl 3986	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
38	37	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
39		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( ph /\ y e. RR+ )
40		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( a e. RR+ /\ b e. RR+ )
41		nfra1 2838	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
42		nfra1 2838	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
43	41, 42	nfan 1929	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
44	39, 40, 43	nf3an 1931	. . . . . . . 8 |- F/ v ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
45		simp11l 1107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ph )
46		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v e. A )
47	45, 46	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( ph /\ v e. A ) )
48		rpre 11251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR )
50	49	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
51	50	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> y e. RR )
52		simp13l 1111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
53		simp3l 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v =/= D )
54	11	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> v e. CC )
55	45, 46, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v e. CC )
56	45, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> D e. CC )
57	55, 56	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v - D ) e. CC )
58	57	abscld 13370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) e. RR )
59	38	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
60	59	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
61		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR+ )
62	61	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
63	62	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> a e. RR )
64	63	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> a e. RR )
65		simp3r 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
66		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR+ )
67	66	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
68		min1 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
69	62, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
70	69	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
71	70	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
72	58, 60, 64, 65, 71	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < a )
73	53, 72	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) )
74		rsp 2823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
75	52, 46, 73, 74	syl3c 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
76	47, 51, 75	jca31 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
77		simp13r 1112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
78	67	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> b e. RR )
79	78	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> b e. RR )
80		min2 11415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
81	62, 67, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
82	81	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
83	82	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
84	58, 60, 79, 65, 83	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < b )
85	53, 84	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) )
86		rsp 2823	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
87	77, 46, 85, 86	syl3c 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
88	8, 24	addcld 9632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
89		addlimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- H = ( x e. A |-> ( B + C ) )
90	88, 89	fmptd 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : A --> CC )
91	90	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) e. CC )
92	91	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( H ` v ) e. CC )
93		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ph )
94	93, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( E + I ) e. CC )
95	92, 94	subcld 9950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) e. CC )
96	95	abscld 13370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) e. RR )
97	10	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. CC )
98	97	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( F ` v ) e. CC )
99	93, 3	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> E e. CC )
100	98, 99	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( F ` v ) - E ) e. CC )
101	100	abscld 13370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) e. RR )
102	26	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( G ` v ) e. CC )
103	102	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( G ` v ) e. CC )
104	93, 6	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> I e. CC )
105	103, 104	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( G ` v ) - I ) e. CC )
106	105	abscld 13370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) e. RR )
107	101, 106	readdcld 9640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) e. RR )
108		simpllr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> y e. RR )
109		nfv 1708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ph /\ v e. A )
110		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> ( B + C ) )
111	89, 110	nfcxfr 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x H
112		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x v
113	111, 112	nffv 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( H ` v )
114		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
115	9, 114	nfcxfr 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x F
116	115, 112	nffv 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( F ` v )
117		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x +
118		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
119	25, 118	nfcxfr 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x G
120	119, 112	nffv 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( G ` v )
121	116, 117, 120	nfov 6322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( ( F ` v ) + ( G ` v ) )
122	113, 121	nfeq 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) )
123	109, 122	nfim 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
124		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( x e. A <-> v e. A ) )
125	124	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ v e. A ) ) )
126		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( H ` x ) = ( H ` v ) )
127		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) )
128		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( G ` x ) = ( G ` v ) )
129	127, 128	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
130	126, 129	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) <-> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) ) )
131	125, 130	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) <-> ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) ) ) )
132		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
133	89	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( H ` x ) = ( B + C ) )
134	132, 88, 133	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( B + C ) )
135	9	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ B e. CC ) -> ( F ` x ) = B )
136	132, 8, 135	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )
137	136	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( F ` x ) )
138	25	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ C e. CC ) -> ( G ` x ) = C )
139	132, 24, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = C )
140	139	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = ( G ` x ) )
141	137, 140	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
142	134, 141	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
143	123, 131, 142	chvar 2014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
144	143	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
145	144	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) - ( E + I ) ) )
146	98, 103, 99, 104	addsub4d 9997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) )
147	145, 146	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) )
148	147	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
149	100, 105	abstrid 13390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
150	148, 149	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
151		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
152		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
153	101, 106, 108, 151, 152	lt2halvesd 10807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) < y )
154	96, 107, 108, 150, 153	lelttrd 9757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y )
155	76, 87, 154	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y )
156	155	3exp 1195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
157	44, 156	ralrimi 2857	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
158		breq2 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( abs ` ( v - D ) ) < w <-> ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) )
159	158	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) <-> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) )
160	159	imbi1d 317	. . . . . . . . 9 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
161	160	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) <-> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
162	161	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
163	38, 157, 162	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
164	163	3exp 1195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) ) )
165	164	rexlimdvv 2955	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
166	36, 165	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
167	166	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
168	90, 11, 14	ellimc3 22500	. 2 |- ( ph -> ( ( E + I ) e. ( H lim CC D ) <-> ( ( E + I ) e. CC /\ A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) ) )
169	7, 167, 168	mpbir2and 922	1 |- ( ph -> ( E + I ) e. ( H lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   abscabs 13170   lim CC climc 22483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-rest 14931  df-topn 14932  df-topgen 14952  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cnp 19947  df-xms 21040  df-ms 21041  df-limc 22487

This theorem is referenced by:  sublimc  31904  reclimc  31905  fourierdlem53  32188  fourierdlem60  32195  fourierdlem61  32196