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Theorem addlimc 37826
 Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f
addlimc.g
addlimc.h
addlimc.b
addlimc.c
addlimc.e lim
addlimc.i lim
Assertion
Ref Expression
addlimc lim
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22909 . . . 4 lim
2 addlimc.e . . . 4 lim
31, 2sseldi 3416 . . 3
4 limccl 22909 . . . 4 lim
5 addlimc.i . . . 4 lim
64, 5sseldi 3416 . . 3
73, 6addcld 9680 . 2
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10
108, 9fmptd 6061 . . . . . . . . 9
119, 8, 2limcmptdm 37812 . . . . . . . . 9
12 limcrcl 22908 . . . . . . . . . . 11 lim
132, 12syl 17 . . . . . . . . . 10
1413simp3d 1044 . . . . . . . . 9
1510, 11, 14ellimc3 22913 . . . . . . . 8 lim
162, 15mpbid 215 . . . . . . 7
1716simprd 470 . . . . . 6
18 rphalfcl 11350 . . . . . 6
19 breq2 4399 . . . . . . . . 9
2019imbi2d 323 . . . . . . . 8
2120rexralbidv 2898 . . . . . . 7
2221rspccva 3135 . . . . . 6
2317, 18, 22syl2an 485 . . . . 5
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10
2624, 25fmptd 6061 . . . . . . . . 9
2726, 11, 14ellimc3 22913 . . . . . . . 8 lim
285, 27mpbid 215 . . . . . . 7
2928simprd 470 . . . . . 6
30 breq2 4399 . . . . . . . . 9
3130imbi2d 323 . . . . . . . 8
3231rexralbidv 2898 . . . . . . 7
3332rspccva 3135 . . . . . 6
3429, 18, 33syl2an 485 . . . . 5
35 reeanv 2944 . . . . 5
3623, 34, 35sylanbrc 677 . . . 4
37 ifcl 3914 . . . . . . . 8
38373ad2ant2 1052 . . . . . . 7
39 nfv 1769 . . . . . . . . 9
40 nfv 1769 . . . . . . . . 9
41 nfra1 2785 . . . . . . . . . 10
42 nfra1 2785 . . . . . . . . . 10
4341, 42nfan 2031 . . . . . . . . 9
4439, 40, 43nf3an 2033 . . . . . . . 8
45 simp11l 1141 . . . . . . . . . . . 12
46 simp2 1031 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46jca 541 . . . . . . . . . . 11
48 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . 14
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
50493ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12
51503ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11
52 simp13l 1145 . . . . . . . . . . . 12
53 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . . 13
5411sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5545, 46, 54syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5645, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5755, 56subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . 14
5938rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15
60593ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14
61 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63623ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . 15
64633ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14
65 simp3r 1059 . . . . . . . . . . . . . 14
66 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6962, 67, 68syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70693ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . 15
71703ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . 13
7353, 72jca 541 . . . . . . . . . . . 12
74 rsp 2773 . . . . . . . . . . . 12
7552, 46, 73, 74syl3c 62 . . . . . . . . . . 11
7647, 51, 75jca31 543 . . . . . . . . . 10
77 simp13r 1146 . . . . . . . . . . 11
78673ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14
79783ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
80 min2 11507 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8162, 67, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
82813ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14
83823ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . 12
8553, 84jca 541 . . . . . . . . . . 11
86 rsp 2773 . . . . . . . . . . 11
8777, 46, 85, 86syl3c 62 . . . . . . . . . 10
888, 24addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16
9088, 89fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14
9291ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13
93 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . 14
9493, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
9592, 94subcld 10005 . . . . . . . . . . . 12
9695abscld 13575 . . . . . . . . . . 11
9710ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14
9993, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
10098, 99subcld 10005 . . . . . . . . . . . . 13
101100abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12
10226ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14
10493, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
105103, 104subcld 10005 . . . . . . . . . . . . 13
106105abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12
107101, 106readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11
108 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11
109 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11189, 110nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113111, 112nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1159, 114nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116115, 112nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11925, 118nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
120119, 112nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
121116, 117, 120nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122113, 121nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123109, 122nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125124anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129127, 128oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130126, 129eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131125, 130imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13389fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134132, 88, 133syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1359fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136132, 8, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137136eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13825fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139132, 24, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140139eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141137, 140oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142134, 141eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143123, 131, 142chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144143ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15
145144oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
14698, 103, 99, 104addsub4d 10052 . . . . . . . . . . . . . 14
147145, 146eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
148147fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
149100, 105abstrid 13595 . . . . . . . . . . . 12
150148, 149eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11
151 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
152 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 10883 . . . . . . . . . . 11
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10
15576, 87, 154syl2anc 673 . . . . . . . . 9
1561553exp 1230 . . . . . . . 8
15744, 156ralrimi 2800 . . . . . . 7
158 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11
159158anbi2d 718 . . . . . . . . . 10
160159imbi1d 324 . . . . . . . . 9
161160ralbidv 2829 . . . . . . . 8
162161rspcev 3136 . . . . . . 7
16338, 157, 162syl2anc 673 . . . . . 6
1641633exp 1230 . . . . 5
165164rexlimdvv 2877 . . . 4
16636, 165mpd 15 . . 3
167166ralrimiva 2809 . 2
16890, 11, 14ellimc3 22913 . 2 lim
1697, 167, 168mpbir2and 936 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cabs 13374   lim climc 22896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900 This theorem is referenced by:  sublimc  37830  reclimc  37831  fourierdlem53  38135  fourierdlem60  38142  fourierdlem61  38143
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