Theorem addlimc 37826

Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlimc.f	|- F = ( x e. A |-> B )
addlimc.g	|- G = ( x e. A |-> C )
addlimc.h	|- H = ( x e. A |-> ( B + C ) )
addlimc.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
addlimc.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
addlimc.e	|- ( ph -> E e. ( F lim CC D ) )
addlimc.i	|- ( ph -> I e. ( G lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
addlimc	|- ( ph -> ( E + I ) e. ( H lim CC D ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)   E( x)   F( x)   G( x)   H( x)   I( x)

Proof of Theorem addlimc

Dummy variables a b v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22909	. . . 4 |- ( F lim CC D ) C_ CC
2		addlimc.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( F lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3416	. . 3 |- ( ph -> E e. CC )
4		limccl 22909	. . . 4 |- ( G lim CC D ) C_ CC
5		addlimc.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( G lim CC D ) )
6	4, 5	sseldi 3416	. . 3 |- ( ph -> I e. CC )
7	3, 6	addcld 9680	. 2 |- ( ph -> ( E + I ) e. CC )
8		addlimc.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
9		addlimc.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. A |-> B )
10	8, 9	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> CC )
11	9, 8, 2	limcmptdm 37812	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
12		limcrcl 22908	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. ( F lim CC D ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
14	13	simp3d 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
15	10, 11, 14	ellimc3 22913	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E e. ( F lim CC D ) <-> ( E e. CC /\ A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) ) ) )
16	2, 15	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E e. CC /\ A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) ) )
17	16	simprd 470	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) )
18		rphalfcl 11350	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
19		breq2 4399	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z <-> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
20	19	imbi2d 323	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
21	20	rexralbidv 2898	. . . . . . 7 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) <-> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
22	21	rspccva 3135	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
23	17, 18, 22	syl2an 485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
24		addlimc.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
25		addlimc.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. A |-> C )
26	24, 25	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : A --> CC )
27	26, 11, 14	ellimc3 22913	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. ( G lim CC D ) <-> ( I e. CC /\ A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) ) ) )
28	5, 27	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. CC /\ A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) ) )
29	28	simprd 470	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) )
30		breq2 4399	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z <-> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
31	30	imbi2d 323	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
32	31	rexralbidv 2898	. . . . . . 7 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) <-> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
33	32	rspccva 3135	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
34	29, 18, 33	syl2an 485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
35		reeanv 2944	. . . . 5 |- ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
36	23, 34, 35	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
37		ifcl 3914	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
38	37	3ad2ant2 1052	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
39		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( ph /\ y e. RR+ )
40		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( a e. RR+ /\ b e. RR+ )
41		nfra1 2785	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
42		nfra1 2785	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
43	41, 42	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
44	39, 40, 43	nf3an 2033	. . . . . . . 8 |- F/ v ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
45		simp11l 1141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ph )
46		simp2 1031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v e. A )
47	45, 46	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( ph /\ v e. A ) )
48		rpre 11331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
49	48	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR )
50	49	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
51	50	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> y e. RR )
52		simp13l 1145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
53		simp3l 1058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v =/= D )
54	11	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> v e. CC )
55	45, 46, 54	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v e. CC )
56	45, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> D e. CC )
57	55, 56	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v - D ) e. CC )
58	57	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) e. RR )
59	38	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
60	59	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
61		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR+ )
62	61	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
63	62	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> a e. RR )
64	63	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> a e. RR )
65		simp3r 1059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
66		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR+ )
67	66	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
68		min1 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
69	62, 67, 68	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
70	69	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
71	70	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
72	58, 60, 64, 65, 71	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < a )
73	53, 72	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) )
74		rsp 2773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
75	52, 46, 73, 74	syl3c 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
76	47, 51, 75	jca31 543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
77		simp13r 1146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
78	67	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> b e. RR )
79	78	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> b e. RR )
80		min2 11507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
81	62, 67, 80	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
82	81	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
83	82	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
84	58, 60, 79, 65, 83	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < b )
85	53, 84	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) )
86		rsp 2773	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
87	77, 46, 85, 86	syl3c 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
88	8, 24	addcld 9680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
89		addlimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- H = ( x e. A |-> ( B + C ) )
90	88, 89	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : A --> CC )
91	90	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) e. CC )
92	91	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( H ` v ) e. CC )
93		simp-4l 784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ph )
94	93, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( E + I ) e. CC )
95	92, 94	subcld 10005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) e. CC )
96	95	abscld 13575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) e. RR )
97	10	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. CC )
98	97	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( F ` v ) e. CC )
99	93, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> E e. CC )
100	98, 99	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( F ` v ) - E ) e. CC )
101	100	abscld 13575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) e. RR )
102	26	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( G ` v ) e. CC )
103	102	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( G ` v ) e. CC )
104	93, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> I e. CC )
105	103, 104	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( G ` v ) - I ) e. CC )
106	105	abscld 13575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) e. RR )
107	101, 106	readdcld 9688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) e. RR )
108		simpllr 777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> y e. RR )
109		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ph /\ v e. A )
110		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> ( B + C ) )
111	89, 110	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x H
112		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x v
113	111, 112	nffv 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( H ` v )
114		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
115	9, 114	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x F
116	115, 112	nffv 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( F ` v )
117		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x +
118		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
119	25, 118	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x G
120	119, 112	nffv 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( G ` v )
121	116, 117, 120	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( ( F ` v ) + ( G ` v ) )
122	113, 121	nfeq 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) )
123	109, 122	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
124		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( x e. A <-> v e. A ) )
125	124	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ v e. A ) ) )
126		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( H ` x ) = ( H ` v ) )
127		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) )
128		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( G ` x ) = ( G ` v ) )
129	127, 128	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
130	126, 129	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) <-> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) ) )
131	125, 130	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) <-> ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) ) ) )
132		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
133	89	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( H ` x ) = ( B + C ) )
134	132, 88, 133	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( B + C ) )
135	9	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ B e. CC ) -> ( F ` x ) = B )
136	132, 8, 135	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )
137	136	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( F ` x ) )
138	25	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ C e. CC ) -> ( G ` x ) = C )
139	132, 24, 138	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = C )
140	139	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = ( G ` x ) )
141	137, 140	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
142	134, 141	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
143	123, 131, 142	chvar 2119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
144	143	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
145	144	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) - ( E + I ) ) )
146	98, 103, 99, 104	addsub4d 10052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) )
147	145, 146	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) )
148	147	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
149	100, 105	abstrid 13595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
150	148, 149	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
151		simplr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
152		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
153	101, 106, 108, 151, 152	lt2halvesd 10883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) < y )
154	96, 107, 108, 150, 153	lelttrd 9810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y )
155	76, 87, 154	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y )
156	155	3exp 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
157	44, 156	ralrimi 2800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
158		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( abs ` ( v - D ) ) < w <-> ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) )
159	158	anbi2d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) <-> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) )
160	159	imbi1d 324	. . . . . . . . 9 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
161	160	ralbidv 2829	. . . . . . . 8 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) <-> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
162	161	rspcev 3136	. . . . . . 7 |- ( ( if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
163	38, 157, 162	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
164	163	3exp 1230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) ) )
165	164	rexlimdvv 2877	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
166	36, 165	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
167	166	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
168	90, 11, 14	ellimc3 22913	. 2 |- ( ph -> ( ( E + I ) e. ( H lim CC D ) <-> ( ( E + I ) e. CC /\ A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) ) )
169	7, 167, 168	mpbir2and 936	1 |- ( ph -> ( E + I ) e. ( H lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   abscabs 13374   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  sublimc  37830  reclimc  37831  fourierdlem53  38135  fourierdlem60  38142  fourierdlem61  38143