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Theorem addlimc 31900
Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
addlimc.g  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
addlimc.h  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
addlimc.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
addlimc.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
addlimc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F lim
CC  D ) )
addlimc.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( G lim
CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
addlimc  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    D( x)    E( x)    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables  a 
b  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22496 . . . 4  |-  ( F lim
CC  D )  C_  CC
2 addlimc.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F lim
CC  D ) )
31, 2sseldi 3497 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
4 limccl 22496 . . . 4  |-  ( G lim
CC  D )  C_  CC
5 addlimc.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( G lim
CC  D ) )
64, 5sseldi 3497 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
73, 6addcld 9632 . 2  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  CC )
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
108, 9fmptd 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
119, 8, 2limcmptdm 31887 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
12 limcrcl 22495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  ( F lim CC  D )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
132, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
1413simp3d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1510, 11, 14ellimc3 22500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( F lim CC  D )  <-> 
( E  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) ) ) )
162, 15mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) ) )
1716simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) )
18 rphalfcl 11269 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
19 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
2019imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  z
)  <->  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
2120rexralbidv 2976 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z )  <->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
2221rspccva 3209 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z )  /\  ( y  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
2317, 18, 22syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) )
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2624, 25fmptd 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
2726, 11, 14ellimc3 22500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( G lim CC  D )  <-> 
( I  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) ) ) )
285, 27mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) ) )
2928simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) )
30 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
3130imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  z
)  <->  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
3231rexralbidv 2976 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z )  <->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
3332rspccva 3209 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z )  /\  ( y  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
3429, 18, 33syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )
35 reeanv 3025 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )  <->  ( E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) ) ) )
3623, 34, 35sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
37 ifcl 3986 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
38373ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
39 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( ph  /\  y  e.  RR+ )
40 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
41 nfra1 2838 . . . . . . . . . 10  |-  F/ v A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )
42 nfra1 2838 . . . . . . . . . 10  |-  F/ v A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) )
4341, 42nfan 1929 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4439, 40, 43nf3an 1931 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
45 simp11l 1107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ph )
46 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  e.  A )
4745, 46jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( ph  /\  v  e.  A ) )
48 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
50493ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
51503ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  y  e.  RR )
52 simp13l 1111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
53 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  =/=  D )
5411sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  v  e.  CC )
5545, 46, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  e.  CC )
5645, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  D  e.  CC )
5755, 56subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  -  D )  e.  CC )
5857abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  e.  RR )
5938rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
60593ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR )
61 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR+ )
6261rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
63623ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  a  e.  RR )
64633ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  a  e.  RR )
65 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR+ )
6766rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
68 min1 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
6962, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  a )
70693ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  a )
71703ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  a )
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)
7353, 72jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
) )
74 rsp 2823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( v  e.  A  ->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
7552, 46, 73, 74syl3c 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )
7647, 51, 75jca31 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) )
77 simp13r 1112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
78673ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  b  e.  RR )
79783ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  b  e.  RR )
80 min2 11415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
8162, 67, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  b )
82813ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  b )
83823ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  b )
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)
8553, 84jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
) )
86 rsp 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( v  e.  A  ->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
8777, 46, 85, 86syl3c 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) )
888, 24addcld 9632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
9088, 89fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : A --> CC )
9190ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v )  e.  CC )
9291ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( H `  v )  e.  CC )
93 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ph )
9493, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( E  +  I )  e.  CC )
9592, 94subcld 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  e.  CC )
9695abscld 13370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  e.  RR )
9710ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
9993, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  E  e.  CC )
10098, 99subcld 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 v )  -  E )  e.  CC )
101100abscld 13370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  e.  RR )
10226ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( G `  v )  e.  CC )
103102ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( G `  v )  e.  CC )
10493, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  I  e.  CC )
105103, 104subcld 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( G `
 v )  -  I )  e.  CC )
106105abscld 13370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  e.  RR )
107101, 106readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  +  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  e.  RR )
108 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  y  e.  RR )
109 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ph  /\  v  e.  A )
110 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
11189, 110nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x H
112 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
v
113111, 112nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( H `  v
)
114 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
1159, 114nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x F
116115, 112nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( F `  v
)
117 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x  +
118 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
11925, 118nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x G
120119, 112nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( G `  v
)
121116, 117, 120nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )
122113, 121nfeq 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )
123109, 122nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ( ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) ) )
124 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  A  <->  v  e.  A ) )
125124anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  v  e.  A ) ) )
126 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  ( H `  x )  =  ( H `  v ) )
127 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
128 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  v  ->  ( G `  x )  =  ( G `  v ) )
129127, 128oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
)  +  ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 v )  +  ( G `  v
) ) )
130126, 129eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) )  <->  ( H `  v )  =  ( ( F `  v
)  +  ( G `
 v ) ) ) )
131125, 130imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) ) ) ) )
132 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
13389fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  +  C
)  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( B  +  C ) )
134132, 88, 133syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( B  +  C ) )
1359fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  x
)  =  B )
136132, 8, 135syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
137136eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( F `  x ) )
13825fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( G `  x
)  =  C )
139132, 24, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  C )
140139eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =  ( G `  x ) )
141137, 140oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  =  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) )
142134, 141eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) )
143123, 131, 142chvar 2014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v )  =  ( ( F `
 v )  +  ( G `  v
) ) )
144143ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( H `  v )  =  ( ( F `  v
)  +  ( G `
 v ) ) )
145144oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )  -  ( E  +  I ) ) )
14698, 103, 99, 104addsub4d 9997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )
147145, 146eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )
148147fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  -  E )  +  ( ( G `  v
)  -  I ) ) ) )
149100, 105abstrid 13390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  +  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) ) ) )
150148, 149eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  +  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) ) ) )
151 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )
152 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 10807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  +  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  <  y )
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 9757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y )
15576, 87, 154syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  v )  -  ( E  +  I )
) )  <  y
)
1561553exp 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  (
v  e.  A  -> 
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) ) )
15744, 156ralrimi 2857 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
158 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( abs `  (
v  -  D ) )  <  w  <->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )
159158anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  w
)  <->  ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) ) )
160159imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y )  <->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
161160ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y )  <->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
162161rspcev 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
16338, 157, 162syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )
1641633exp 1195 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) ) ) )
165164rexlimdvv 2955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
16636, 165mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )
167166ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
16890, 11, 14ellimc3 22500 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E  +  I )  e.  ( H lim CC  D )  <-> 
( ( E  +  I )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) ) )
1697, 167, 168mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   abscabs 13170   lim CC climc 22483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-rest 14931  df-topn 14932  df-topgen 14952  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cnp 19947  df-xms 21040  df-ms 21041  df-limc 22487
This theorem is referenced by:  sublimc  31904  reclimc  31905  fourierdlem53  32188  fourierdlem60  32195  fourierdlem61  32196
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