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Theorem addlimc 37826
Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
addlimc.g  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
addlimc.h  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
addlimc.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
addlimc.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
addlimc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F lim
CC  D ) )
addlimc.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( G lim
CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
addlimc  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    D( x)    E( x)    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables  a 
b  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22909 . . . 4  |-  ( F lim
CC  D )  C_  CC
2 addlimc.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F lim
CC  D ) )
31, 2sseldi 3416 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
4 limccl 22909 . . . 4  |-  ( G lim
CC  D )  C_  CC
5 addlimc.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( G lim
CC  D ) )
64, 5sseldi 3416 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
73, 6addcld 9680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  CC )
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
108, 9fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
119, 8, 2limcmptdm 37812 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
12 limcrcl 22908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  ( F lim CC  D )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
132, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
1413simp3d 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1510, 11, 14ellimc3 22913 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( F lim CC  D )  <-> 
( E  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) ) ) )
162, 15mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) ) )
1716simprd 470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z ) )
18 rphalfcl 11350 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
19 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
2019imbi2d 323 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  z
)  <->  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
2120rexralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z )  <->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
2221rspccva 3135 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  z )  /\  ( y  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
2317, 18, 22syl2an 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) )
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2624, 25fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
2726, 11, 14ellimc3 22913 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( G lim CC  D )  <-> 
( I  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) ) ) )
285, 27mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  CC  /\ 
A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) ) )
2928simprd 470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z ) )
30 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
3130imbi2d 323 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  z
)  <->  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
3231rexralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z )  <->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
3332rspccva 3135 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  z )  /\  ( y  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
3429, 18, 33syl2an 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )
35 reeanv 2944 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )  <->  ( E. a  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. b  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) ) ) )
3623, 34, 35sylanbrc 677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
37 ifcl 3914 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
38373ad2ant2 1052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
39 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( ph  /\  y  e.  RR+ )
40 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
41 nfra1 2785 . . . . . . . . . 10  |-  F/ v A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )
42 nfra1 2785 . . . . . . . . . 10  |-  F/ v A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) )
4341, 42nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ v ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4439, 40, 43nf3an 2033 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
45 simp11l 1141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ph )
46 simp2 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  e.  A )
4745, 46jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( ph  /\  v  e.  A ) )
48 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
50493ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
51503ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  y  e.  RR )
52 simp13l 1145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
53 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  =/=  D )
5411sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  v  e.  CC )
5545, 46, 54syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  v  e.  CC )
5645, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  D  e.  CC )
5755, 56subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  -  D )  e.  CC )
5857abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  e.  RR )
5938rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
60593ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR )
61 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR+ )
6261rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
63623ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  a  e.  RR )
64633ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  a  e.  RR )
65 simp3r 1059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )
66 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR+ )
6766rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
68 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
6962, 67, 68syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  a )
70693ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  a )
71703ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  a )
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)
7353, 72jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
) )
74 rsp 2773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( v  e.  A  ->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
7552, 46, 73, 74syl3c 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )
7647, 51, 75jca31 543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) ) )
77 simp13r 1146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
78673ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  b  e.  RR )
79783ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  b  e.  RR )
80 min2 11507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
8162, 67, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  b )
82813ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  b )
83823ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  b )
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
)
8553, 84jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  b
) )
86 rsp 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( v  e.  A  ->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
8777, 46, 85, 86syl3c 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I
) )  <  (
y  /  2 ) )
888, 24addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
9088, 89fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : A --> CC )
9190ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v )  e.  CC )
9291ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( H `  v )  e.  CC )
93 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ph )
9493, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( E  +  I )  e.  CC )
9592, 94subcld 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  e.  CC )
9695abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  e.  RR )
9710ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
9897ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
9993, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  E  e.  CC )
10098, 99subcld 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 v )  -  E )  e.  CC )
101100abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  e.  RR )
10226ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( G `  v )  e.  CC )
103102ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( G `  v )  e.  CC )
10493, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  I  e.  CC )
105103, 104subcld 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( G `
 v )  -  I )  e.  CC )
106105abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  e.  RR )
107101, 106readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  +  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  e.  RR )
108 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  y  e.  RR )
109 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ph  /\  v  e.  A )
110 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )
11189, 110nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x H
112 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
v
113111, 112nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( H `  v
)
114 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
1159, 114nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x F
116115, 112nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( F `  v
)
117 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x  +
118 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
11925, 118nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x G
120119, 112nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( G `  v
)
121116, 117, 120nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )
122113, 121nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )
123109, 122nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ( ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) ) )
124 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  A  <->  v  e.  A ) )
125124anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  v  e.  A ) ) )
126 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  ( H `  x )  =  ( H `  v ) )
127 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
128 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  v  ->  ( G `  x )  =  ( G `  v ) )
129127, 128oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
)  +  ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 v )  +  ( G `  v
) ) )
130126, 129eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) )  <->  ( H `  v )  =  ( ( F `  v
)  +  ( G `
 v ) ) ) )
131125, 130imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v
)  =  ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) ) ) ) )
132 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
13389fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  +  C
)  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( B  +  C ) )
134132, 88, 133syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( B  +  C ) )
1359fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  x
)  =  B )
136132, 8, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
137136eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( F `  x ) )
13825fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( G `  x
)  =  C )
139132, 24, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  C )
140139eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =  ( G `  x ) )
141137, 140oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  =  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) )
142134, 141eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) )
143123, 131, 142chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v )  =  ( ( F `
 v )  +  ( G `  v
) ) )
144143ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( H `  v )  =  ( ( F `  v
)  +  ( G `
 v ) ) )
145144oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )  -  ( E  +  I ) ) )
14698, 103, 99, 104addsub4d 10052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  v )  +  ( G `  v ) )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )
147145, 146eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) )  =  ( ( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )
148147fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  -  E )  +  ( ( G `  v
)  -  I ) ) ) )
149100, 105abstrid 13595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  v )  -  E
)  +  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  +  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) ) ) )
150148, 149eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  +  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) ) ) )
151 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )
152 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 10883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  +  ( abs `  ( ( G `  v )  -  I ) ) )  <  y )
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  ( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y )
15576, 87, 154syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  /\  v  e.  A  /\  (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  v )  -  ( E  +  I )
) )  <  y
)
1561553exp 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  (
v  e.  A  -> 
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) ) )
15744, 156ralrimi 2800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
158 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( abs `  (
v  -  D ) )  <  w  <->  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )
159158anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  w
)  <->  ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) ) )
160159imbi1d 324 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y )  <->  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
161160ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y )  <->  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
162161rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
16338, 157, 162syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. v  e.  A  ( ( v  =/= 
D  /\  ( abs `  ( v  -  D
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( F `  v )  -  E
) )  <  (
y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )
1641633exp 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
( A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
a )  ->  ( abs `  ( ( F `
 v )  -  E ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  A. v  e.  A  (
( v  =/=  D  /\  ( abs `  (
v  -  D ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  I ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) ) ) )
165164rexlimdvv 2877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( F `  v
)  -  E ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  I ) )  < 
( y  /  2
) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) )
16636, 165mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( ( v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( H `
 v )  -  ( E  +  I
) ) )  < 
y ) )
167166ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) )
16890, 11, 14ellimc3 22913 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E  +  I )  e.  ( H lim CC  D )  <-> 
( ( E  +  I )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  A  ( (
v  =/=  D  /\  ( abs `  ( v  -  D ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( H `  v
)  -  ( E  +  I ) ) )  <  y ) ) ) )
1697, 167, 168mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  ( E  +  I
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   abscabs 13374   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  sublimc  37830  reclimc  37831  fourierdlem53  38135  fourierdlem60  38142  fourierdlem61  38143
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