Theorem addlimc 37305

Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlimc.f	|- F = ( x e. A |-> B )
addlimc.g	|- G = ( x e. A |-> C )
addlimc.h	|- H = ( x e. A |-> ( B + C ) )
addlimc.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
addlimc.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
addlimc.e	|- ( ph -> E e. ( F lim CC D ) )
addlimc.i	|- ( ph -> I e. ( G lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
addlimc	|- ( ph -> ( E + I ) e. ( H lim CC D ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)   E( x)   F( x)   G( x)   H( x)   I( x)

Proof of Theorem addlimc

Dummy variables a b v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22704	. . . 4 |- ( F lim CC D ) C_ CC
2		addlimc.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( F lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3459	. . 3 |- ( ph -> E e. CC )
4		limccl 22704	. . . 4 |- ( G lim CC D ) C_ CC
5		addlimc.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( G lim CC D ) )
6	4, 5	sseldi 3459	. . 3 |- ( ph -> I e. CC )
7	3, 6	addcld 9651	. 2 |- ( ph -> ( E + I ) e. CC )
8		addlimc.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
9		addlimc.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. A |-> B )
10	8, 9	fmptd 6052	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> CC )
11	9, 8, 2	limcmptdm 37291	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
12		limcrcl 22703	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. ( F lim CC D ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
14	13	simp3d 1019	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
15	10, 11, 14	ellimc3 22708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E e. ( F lim CC D ) <-> ( E e. CC /\ A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) ) ) )
16	2, 15	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E e. CC /\ A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) ) )
17	16	simprd 464	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) )
18		rphalfcl 11316	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
19		breq2 4421	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z <-> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
20	19	imbi2d 317	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
21	20	rexralbidv 2945	. . . . . . 7 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) <-> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
22	21	rspccva 3178	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. RR+ E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < z ) /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
23	17, 18, 22	syl2an 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
24		addlimc.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
25		addlimc.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. A |-> C )
26	24, 25	fmptd 6052	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : A --> CC )
27	26, 11, 14	ellimc3 22708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. ( G lim CC D ) <-> ( I e. CC /\ A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) ) ) )
28	5, 27	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. CC /\ A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) ) )
29	28	simprd 464	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) )
30		breq2 4421	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z <-> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
31	30	imbi2d 317	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
32	31	rexralbidv 2945	. . . . . . 7 |- ( z = ( y / 2 ) -> ( E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) <-> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
33	32	rspccva 3178	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. RR+ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < z ) /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
34	29, 18, 33	syl2an 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
35		reeanv 2994	. . . . 5 |- ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( E. a e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ E. b e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
36	23, 34, 35	sylanbrc 668	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
37		ifcl 3948	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
38	37	3ad2ant2 1027	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
39		nfv 1751	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( ph /\ y e. RR+ )
40		nfv 1751	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( a e. RR+ /\ b e. RR+ )
41		nfra1 2804	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
42		nfra1 2804	. . . . . . . . . 10 |- F/ v A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
43	41, 42	nfan 1983	. . . . . . . . 9 |- F/ v ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
44	39, 40, 43	nf3an 1985	. . . . . . . 8 |- F/ v ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
45		simp11l 1116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ph )
46		simp2 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v e. A )
47	45, 46	jca 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( ph /\ v e. A ) )
48		rpre 11297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
49	48	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR )
50	49	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
51	50	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> y e. RR )
52		simp13l 1120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
53		simp3l 1033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v =/= D )
54	11	sselda 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> v e. CC )
55	45, 46, 54	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> v e. CC )
56	45, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> D e. CC )
57	55, 56	subcld 9975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v - D ) e. CC )
58	57	abscld 13465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) e. RR )
59	38	rpred 11330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
60	59	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
61		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR+ )
62	61	rpred 11330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
63	62	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> a e. RR )
64	63	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> a e. RR )
65		simp3r 1034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
66		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR+ )
67	66	rpred 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
68		min1 11472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
69	62, 67, 68	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
70	69	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
71	70	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
72	58, 60, 64, 65, 71	ltletrd 9784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < a )
73	53, 72	jca 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) )
74		rsp 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
75	52, 46, 73, 74	syl3c 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
76	47, 51, 75	jca31 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) )
77		simp13r 1121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) )
78	67	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> b e. RR )
79	78	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> b e. RR )
80		min2 11473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
81	62, 67, 80	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
82	81	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
83	82	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
84	58, 60, 79, 65, 83	ltletrd 9784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( v - D ) ) < b )
85	53, 84	jca 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) )
86		rsp 2789	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
87	77, 46, 85, 86	syl3c 63	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
88	8, 24	addcld 9651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
89		addlimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- H = ( x e. A |-> ( B + C ) )
90	88, 89	fmptd 6052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : A --> CC )
91	90	ffvelrnda 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) e. CC )
92	91	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( H ` v ) e. CC )
93		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ph )
94	93, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( E + I ) e. CC )
95	92, 94	subcld 9975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) e. CC )
96	95	abscld 13465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) e. RR )
97	10	ffvelrnda 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. CC )
98	97	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( F ` v ) e. CC )
99	93, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> E e. CC )
100	98, 99	subcld 9975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( F ` v ) - E ) e. CC )
101	100	abscld 13465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) e. RR )
102	26	ffvelrnda 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( G ` v ) e. CC )
103	102	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( G ` v ) e. CC )
104	93, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> I e. CC )
105	103, 104	subcld 9975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( G ` v ) - I ) e. CC )
106	105	abscld 13465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) e. RR )
107	101, 106	readdcld 9659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) e. RR )
108		simpllr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> y e. RR )
109		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ph /\ v e. A )
110		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> ( B + C ) )
111	89, 110	nfcxfr 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x H
112		nfcv 2582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x v
113	111, 112	nffv 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( H ` v )
114		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
115	9, 114	nfcxfr 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x F
116	115, 112	nffv 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( F ` v )
117		nfcv 2582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x +
118		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
119	25, 118	nfcxfr 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x G
120	119, 112	nffv 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( G ` v )
121	116, 117, 120	nfov 6322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( ( F ` v ) + ( G ` v ) )
122	113, 121	nfeq 2593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) )
123	109, 122	nfim 1975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
124		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( x e. A <-> v e. A ) )
125	124	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ v e. A ) ) )
126		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( H ` x ) = ( H ` v ) )
127		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) )
128		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = v -> ( G ` x ) = ( G ` v ) )
129	127, 128	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
130	126, 129	eqeq12d 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) <-> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) ) )
131	125, 130	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) <-> ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) ) ) )
132		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
133	89	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( H ` x ) = ( B + C ) )
134	132, 88, 133	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( B + C ) )
135	9	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ B e. CC ) -> ( F ` x ) = B )
136	132, 8, 135	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )
137	136	eqcomd 2428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( F ` x ) )
138	25	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ C e. CC ) -> ( G ` x ) = C )
139	132, 24, 138	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = C )
140	139	eqcomd 2428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = ( G ` x ) )
141	137, 140	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
142	134, 141	eqtrd 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
143	123, 131, 142	chvar 2066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. A ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
144	143	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( H ` v ) = ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) )
145	144	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) - ( E + I ) ) )
146	98, 103, 99, 104	addsub4d 10022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( ( F ` v ) + ( G ` v ) ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) )
147	145, 146	eqtrd 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) = ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) )
148	147	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
149	100, 105	abstrid 13485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) - E ) + ( ( G ` v ) - I ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
150	148, 149	eqbrtrd 4437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) )
151		simplr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) )
152		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) )
153	101, 106, 108, 151, 152	lt2halvesd 10849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) + ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) ) < y )
154	96, 107, 108, 150, 153	lelttrd 9782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. A ) /\ y e. RR ) /\ ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y )
155	76, 87, 154	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) /\ v e. A /\ ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y )
156	155	3exp 1204	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> ( v e. A -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
157	44, 156	ralrimi 2823	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
158		breq2 4421	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( abs ` ( v - D ) ) < w <-> ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) )
159	158	anbi2d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) <-> ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) )
160	159	imbi1d 318	. . . . . . . . 9 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) <-> ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
161	160	ralbidv 2862	. . . . . . . 8 |- ( w = if ( a <_ b , a , b ) -> ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) <-> A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
162	161	rspcev 3179	. . . . . . 7 |- ( ( if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
163	38, 157, 162	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
164	163	3exp 1204	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) ) )
165	164	rexlimdvv 2921	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - E ) ) < ( y / 2 ) ) /\ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( G ` v ) - I ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) )
166	36, 165	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
167	166	ralrimiva 2837	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) )
168	90, 11, 14	ellimc3 22708	. 2 |- ( ph -> ( ( E + I ) e. ( H lim CC D ) <-> ( ( E + I ) e. CC /\ A. y e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. A ( ( v =/= D /\ ( abs ` ( v - D ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( H ` v ) - ( E + I ) ) ) < y ) ) ) )
169	7, 167, 168	mpbir2and 930	1 |- ( ph -> ( E + I ) e. ( H lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   C_ wss 3433   ifcif 3906   class class class wbr 4417   |-> cmpt 4475   dom cdm 4845   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   + caddc 9531   < clt 9664   <_ cle 9665   - cmin 9849   / cdiv 10258   2c2 10648   RR+crp 11291   abscabs 13265   lim CC climc 22691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fi 7922  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-fz 11772  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-rest 15273  df-topn 15274  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cnp 20168  df-xms 21259  df-ms 21260  df-limc 22695

This theorem is referenced by:  sublimc  37309  reclimc  37310  fourierdlem53  37595  fourierdlem60  37602  fourierdlem61  37603