Theorem addinv 8212

Description: Value of the group inverse of complex number addition. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
addinv	|- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = -uA)

Proof of Theorem addinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom 5370	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A + y) = (y + A))
2	1	eqeq1d 1530	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> ((A + y) = 0 <-> (y + A) = 0))
3	2	rabbidv 1853	. . . 4 |- (A e. CC -> {y e. CC | (A + y) = 0} = {y e. CC | (y + A) = 0})
4	3	unieqd 2566	. . 3 |- (A e. CC -> U.{y e. CC | (A + y) = 0} = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
5		0cn 5393	. . . 4 |- 0 e. CC
6		subval 5422	. . . 4 |- ((0 e. CC /\ A e. CC) -> (0 - A) = U.{y e. CC | (A + y) = 0})
7	5, 6	mpan 707	. . 3 |- (A e. CC -> (0 - A) = U.{y e. CC | (A + y) = 0})
8		cnaddabl 8210	. . . . 5 |- + e. Abel
9		ablgrp 8186	. . . . 5 |- ( + e. Abel -> + e. Grp)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- + e. Grp
11		axaddopr 5330	. . . . . . 7 |- + :(CC X. CC)-->CC
12	11	fdmi 3689	. . . . . 6 |- dom + = (CC X. CC)
13	10, 12	grprn 8141	. . . . 5 |- CC = ran +
14		cnid 8211	. . . . 5 |- 0 = (Id` + )
15		eqid 1522	. . . . 5 |- (inv` + ) = (inv` + )
16	13, 14, 15	grpinvval 8151	. . . 4 |- (( + e. Grp /\ A e. CC) -> ((inv` + )` A) = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
17	10, 16	mpan 707	. . 3 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
18	4, 7, 17	3eqtr4rd 1565	. 2 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = (0 - A))
19		df-neg 5423	. 2 |- -uA = (0 - A)
20	18, 19	syl6eqr 1572	1 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = -uA)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  {crab 1695  U.cuni 2557   X. cxp 3225  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  CCcc 5297  0cc0 5299   + caddc 5302   - cmin 5357  -ucneg 5358  Grpcgr 8118  invcgn 8120  Abelcabl 8183

This theorem is referenced by:  readdsubg 8213  zaddsubg 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fo 3253  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-sub 5421  df-neg 5423  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-abl 8184

Copyright terms: Public domain