MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2d Structured version   Unicode version

Theorem addid2d 9784
Description:  0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addid2d  |-  ( ph  ->  ( 0  +  A
)  =  A )

Proof of Theorem addid2d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 addid2 9766 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  A )  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495    + caddc 9498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636
This theorem is referenced by:  negeu  9815  subge0  10071  un0addcl  10835  lincmb01cmp  11672  addmodid  12015  discr  12282  ccatlid  12582  swrdspsleq  12652  swrdswrd0  12666  cats1un  12680  swrdccatin2  12691  cshwidx0mod  12754  cshw1  12769  rennim  13051  max0add  13122  fsumsplit  13541  sumsplit  13562  isumsplit  13631  arisum2  13651  efaddlem  13706  eftlub  13721  ef4p  13725  rpnnen2lem11  13835  moddvds  13870  divalglem9  13936  sadadd2lem2  13977  sadcaddlem  13984  pcmpt  14288  4sqlem11  14350  vdwlem6  14381  gsumccat  15883  mulgnn0dir  16039  sylow1lem1  16492  efgsval2  16625  efgsp1  16629  zaddablx  16750  pgpfaclem1  17006  mplcoe5  18005  mplcoe2OLD  18007  regsumsupp  18531  nrmmetd  20968  blcvx  21176  xrsxmet  21187  reparphti  21370  nulmbl  21819  itg2splitlem  22028  itg2split  22029  itg2monolem1  22030  itgsplitioo  22117  ditgsplit  22138  dvcnp2  22196  dvcmul  22220  dvcmulf  22221  dvmptcmul  22240  dveflem  22253  dvef  22254  dvlipcn  22268  dvlt0  22279  plymullem1  22484  coeeulem  22494  dgradd2  22537  dgrmulc  22540  plydivlem3  22563  aareccl  22594  taylthlem1  22640  sin2kpi  22748  cos2kpi  22749  coshalfpim  22760  sinkpi  22784  chordthmlem3  23037  chordthmlem5  23039  dcubic1lem  23046  dcubic  23049  atancj  23113  atanlogaddlem  23116  atanlogsublem  23118  scvxcvx  23187  ftalem5  23222  ftalem7  23224  basellem3  23228  chtublem  23358  rplogsumlem2  23542  dchrisumlem1  23546  pntrlog2bndlem2  23635  brbtwn2  24080  axlowdimlem16  24132  axeuclidlem  24137  bcm1n  27472  2sqn0  27507  regsumfsum  27645  esumpfinvallem  27953  signsplypnf  28380  signstfvn  28399  zetacvg  28430  cvxpcon  28560  cvxscon  28561  binomfallfaclem2  29137  tan2h  30022  mbfposadd  30037  itg2addnc  30044  ftc1anclem5  30069  bfplem2  30294  pellexlem6  30745  jm2.18  30905  sub2times  31404  sublt0d  31444  fzisoeu  31449  cosknegpi  31576  dvsinax  31612  dvasinbx  31621  stoweidlem1  31672  stoweidlem13  31684  stoweidlem42  31713  stirlinglem5  31749  stirlinglem11  31755  fourierdlem42  31820  fourierdlem51  31829  fourierdlem88  31866  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882  fourierdlem107  31885  sqwvfoura  31900  sqwvfourb  31901  fouriersw  31903  cnambpcma  32153  altgsumbcALT  32675  bj-flbi3  34348
  Copyright terms: Public domain W3C validator