MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2d Structured version   Unicode version

Theorem addid2d 9785
Description:  0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addid2d  |-  ( ph  ->  ( 0  +  A
)  =  A )

Proof of Theorem addid2d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 addid2 9767 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  A )  =  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872  (class class class)co 6249   CCcc 9488   0cc0 9490    + caddc 9493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-ltxr 9631
This theorem is referenced by:  negeu  9816  subge0  10078  sublt0d  10189  un0addcl  10854  lincmb01cmp  11726  ico01fl0  12003  discr  12359  ccatlid  12678  swrdswrd0  12764  cats1un  12778  swrdccatin2  12789  cshwidx0mod  12852  cshw1  12867  relexpaddg  13060  rennim  13246  max0add  13317  fsumsplit  13749  sumsplit  13772  isumsplit  13841  arisum2  13862  binomfallfaclem2  14036  efaddlem  14090  eftlub  14106  ef4p  14110  rpnnen2lem11  14220  moddvds  14255  divalglem9  14324  divalglem9OLD  14325  sadadd2lem2  14367  sadcaddlem  14374  pcmpt  14780  4sqlem11  14842  vdwlem6  14879  gsumccat  16568  mulgnn0dir  16724  sylow1lem1  17193  efgsval2  17326  efgsp1  17330  zaddablx  17451  pgpfaclem1  17657  mplcoe5  18635  regsumsupp  19132  nrmmetd  21531  blcvx  21758  xrsxmet  21769  reparphti  21970  nulmbl  22431  itg2splitlem  22648  itg2split  22649  itg2monolem1  22650  itgsplitioo  22737  ditgsplit  22758  dvcnp2  22816  dvcmul  22840  dvcmulf  22841  dvmptcmul  22860  dveflem  22873  dvef  22874  dvlipcn  22888  dvlt0  22899  plymullem1  23110  coeeulem  23120  dgradd2  23164  dgrmulc  23167  plydivlem3  23190  aareccl  23224  taylthlem1  23270  sin2kpi  23380  cos2kpi  23381  coshalfpim  23392  sinkpi  23416  chordthmlem3  23702  chordthmlem5  23704  dcubic1lem  23711  dcubic  23714  atancj  23778  atanlogaddlem  23781  atanlogsublem  23783  scvxcvx  23853  zetacvg  23882  ftalem5  23943  ftalem5OLD  23945  ftalem7  23947  basellem3  23951  chtublem  24081  rplogsumlem2  24265  dchrisumlem1  24269  pntrlog2bndlem2  24358  brbtwn2  24877  axlowdimlem16  24929  axeuclidlem  24934  bcm1n  28321  2sqn0  28358  regsumfsum  28496  esumpfinvallem  28847  signsplypnf  29391  signstfvn  29410  cvxpcon  29917  cvxscon  29918  fwddifnp1  30881  tan2h  31844  poimirlem16  31863  mbfposadd  31895  itg2addnc  31903  ftc1anclem5  31928  bfplem2  32062  pellexlem6  35591  jm2.18  35756  relexpaddss  36223  int-add02d  36545  sub2times  37380  fzisoeu  37415  xralrple2  37474  cosknegpi  37627  dvsinax  37666  dvasinbx  37675  dvnxpaek  37700  dvnmul  37701  stoweidlem1  37744  stoweidlem13  37756  stoweidlem42  37786  stirlinglem5  37823  stirlinglem11  37829  fourierdlem42  37895  fourierdlem42OLD  37896  fourierdlem51  37904  fourierdlem88  37941  fourierdlem103  37956  fourierdlem104  37957  fourierdlem107  37960  sqwvfoura  37975  sqwvfourb  37976  fouriersw  37978  elaa2lem  37980  elaa2lemOLD  37981  pfxpfx  38769  cnambpcma  38838  altgsumbcALT  39737  nn0sumshdiglemA  40033
  Copyright terms: Public domain W3C validator