MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2d Structured version   Unicode version

Theorem addid2d 9671
Description:  0 is a left identity for addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addid2d  |-  ( ph  ->  ( 0  +  A
)  =  A )

Proof of Theorem addid2d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 addid2 9653 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  A )  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6190   CCcc 9381   0cc0 9383    + caddc 9386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-ltxr 9524
This theorem is referenced by:  negeu  9701  subge0  9953  un0addcl  10714  lincmb01cmp  11529  addmodid  11849  discr  12102  ccatlid  12386  swrdspsleq  12444  swrdswrd0  12458  cats1un  12472  swrdccatin2  12480  cshwidx0mod  12543  cshw1  12558  rennim  12830  max0add  12901  fsumsplit  13318  sumsplit  13337  isumsplit  13405  arisum2  13425  efaddlem  13480  eftlub  13495  ef4p  13499  rpnnen2lem11  13609  moddvds  13644  divalglem9  13707  sadadd2lem2  13748  sadcaddlem  13755  pcmpt  14056  4sqlem11  14118  vdwlem6  14149  gsumccat  15621  mulgnn0dir  15752  sylow1lem1  16201  efgsval2  16334  efgsp1  16338  zaddablx  16454  pgpfaclem1  16687  mplcoe5  17655  mplcoe2OLD  17657  regsumsupp  18161  nrmmetd  20283  blcvx  20491  xrsxmet  20502  reparphti  20685  nulmbl  21133  itg2splitlem  21342  itg2split  21343  itg2monolem1  21344  itgsplitioo  21431  ditgsplit  21452  dvcnp2  21510  dvcmul  21534  dvcmulf  21535  dvmptcmul  21554  dveflem  21567  dvef  21568  dvlipcn  21582  dvlt0  21593  plymullem1  21798  coeeulem  21808  dgradd2  21851  dgrmulc  21854  plydivlem3  21877  aareccl  21908  taylthlem1  21954  sin2kpi  22061  cos2kpi  22062  coshalfpim  22073  sinkpi  22097  chordthmlem3  22345  chordthmlem5  22347  dcubic1lem  22354  dcubic  22357  atancj  22421  atanlogaddlem  22424  atanlogsublem  22426  scvxcvx  22495  ftalem5  22530  ftalem7  22532  basellem3  22536  chtublem  22666  rplogsumlem2  22850  dchrisumlem1  22854  pntrlog2bndlem2  22943  brbtwn2  23286  axlowdimlem16  23338  axeuclidlem  23343  bcm1n  26213  regsumfsum  26384  esumpfinvallem  26657  signsplypnf  27085  signstfvn  27104  zetacvg  27135  cvxpcon  27265  cvxscon  27266  binomfallfaclem2  27677  tan2h  28562  mbfposadd  28577  itg2addnc  28584  ftc1anclem5  28609  bfplem2  28860  pellexlem6  29313  jm2.18  29475  stoweidlem1  29934  stoweidlem13  29946  stoweidlem42  29975  stirlinglem5  30011  stirlinglem11  30017  cnambpcma  30306  altgsumbcALT  30888  bj-flbi3  32833
  Copyright terms: Public domain W3C validator