MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1d Structured version   Unicode version

Theorem addid1d 9769
Description:  0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addid1d  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )

Proof of Theorem addid1d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 addid1 9749 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  0 )  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481    + caddc 9484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622
This theorem is referenced by:  subsub2  9838  negsub  9858  ltaddpos  10038  addge01  10058  add20  10060  nnge1  10557  nnnn0addcl  10822  un0addcl  10825  uzaddcl  11138  xaddid1  11441  fzosubel3  11858  expadd  12190  faclbnd4lem4  12356  faclbnd6  12359  hashgadd  12428  ccatrid  12593  swrd0val  12637  swrdid  12644  swrd0fv  12655  swrd0swrd  12677  swrdccatin12lem2b  12702  swrdccatin12lem2  12705  swrdccat3blem  12711  splfv1  12722  cshweqrep  12780  relexpaddg  12968  reim0b  13034  rereb  13035  immul2  13052  max0add  13225  iseraltlem2  13587  fsumsplit  13644  sumsplit  13665  bitsinv1lem  14175  sadadd2lem2  14184  sadcaddlem  14191  bezoutlem1  14260  pcadd  14492  pcadd2  14493  pcmpt  14495  vdwapun  14576  vdwlem1  14583  mulgnn0dir  16364  psgnunilem2  16719  sylow1lem1  16817  efginvrel2  16944  efgredleme  16960  efgcpbllemb  16972  frgpnabllem1  17076  mplcoe5  18326  mplcoe2OLD  18328  regsumsupp  18831  xrsxmet  21480  reparphti  21663  minveclem6  22015  ovolunnul  22077  voliunlem3  22128  ovolioo  22144  itg2splitlem  22321  itg2split  22322  itgrevallem1  22367  itgsplitioo  22410  ditgsplit  22431  dvnadd  22498  dvlipcn  22561  ply1divex  22703  dvntaylp  22932  ulmshft  22951  abelthlem6  22997  cosmpi  23047  sinppi  23048  sinhalfpip  23051  logrnaddcl  23128  affineequiv  23354  chordthmlem3  23362  atanlogaddlem  23441  atanlogsublem  23443  leibpi  23470  scvxcvx  23513  logexprlim  23698  2sqblem  23850  dchrvmasum2if  23880  dchrvmasumlem  23906  axcontlem8  24476  eupath2lem3  25181  gxnn0add  25474  ipidsq  25821  minvecolem6  25996  normpyc  26261  pjspansn  26693  lnfnmuli  27161  hstoh  27349  archirngz  27967  regsumfsum  28007  esumpfinvallem  28303  signsvtp  28804  signlem0  28808  dmgmn0  28832  lgamgulmlem2  28836  lgambdd  28843  cvxpcon  28951  cvxscon  28952  elmrsubrn  29144  binomfallfaclem2  29403  faclim2  29414  mblfinlem2  30292  mbfposadd  30302  itg2addnc  30309  itgaddnclem2  30314  ftc1anclem5  30334  ftc1anclem8  30337  areacirc  30352  pell1qrgaplem  31048  jm2.19lem3  31172  jm2.25  31180  binomcxplemnn0  31495  ltaddneg  31724  fperiodmullem  31742  sumnnodd  31875  ioodvbdlimc1lem2  31968  volioc  32010  stoweidlem11  32032  stoweidlem26  32047  stirlinglem12  32106  fourierdlem4  32132  fourierdlem42  32170  fourierdlem60  32188  fourierdlem61  32189  fourierdlem92  32220  fourierdlem107  32235  fouriersw  32253  etransclem24  32280  etransclem35  32291  sharhght  32321  pfxmpt  32615  pfxfv  32627  pfxccatin12lem1  32651  pfxccatin12lem2  32652  altgsumbcALT  33196  bj-bary1lem  35076  relexpaddss  38205  int-add01d  38457
  Copyright terms: Public domain W3C validator