Theorem addgt0sr 5278

Description: The sum of two positive signed reals is positive.

Hypotheses

Ref	Expression
addgt0sr.1	|- A e. V
addgt0sr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	|- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> 0R <R (A +R B))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addgt0sr.1	. . . . . 6 |- A e. V
2		ltrelsr 5245	. . . . . 6 |- <R (_ (R. X. R.)
3	1, 2	brel 3280	. . . . 5 |- (0R <R A -> (0R e. R. /\ A e. R.))
4	3	pm3.27d 332	. . . 4 |- (0R <R A -> A e. R.)
5		0r 5254	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
6	5	elisseti 1865	. . . . . 6 |- 0R e. V
7		addgt0sr.2	. . . . . 6 |- B e. V
8	6, 7	ltasr 5274	. . . . 5 |- (A e. R. -> (0R <R B <-> (A +R 0R) <R (A +R B)))
9		0idsr 5271	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)
10	9	breq1d 2684	. . . . 5 |- (A e. R. -> ((A +R 0R) <R (A +R B) <-> A <R (A +R B)))
11	8, 10	bitrd 539	. . . 4 |- (A e. R. -> (0R <R B <-> A <R (A +R B)))
12	4, 11	syl 10	. . 3 |- (0R <R A -> (0R <R B <-> A <R (A +R B)))
13	12	biimpa 425	. 2 |- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> A <R (A +R B))
14		ltsosr 5268	. . 3 |- <R Or R.
15		oprex 4041	. . 3 |- (A +R B) e. V
16	6, 14, 2, 1, 15	sotri 3500	. 2 |- ((0R <R A /\ A <R (A +R B)) -> 0R <R (A +R B))
17	13, 16	syldan 478	1 |- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> 0R <R (A +R B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   e. wcel 999  Vcvv 1858   class class class wbr 2674  (class class class)co 4021  R.cnr 5058  0Rc0r 5059   +R cplr 5062   <R cltr 5064

This theorem is referenced by:  ssgt0sr 5282

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-ltr 5235  df-0r 5236

Copyright terms: Public domain