MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addgt0ii Structured version   Unicode version

Theorem addgt0ii 10094
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt_2.1  |-  A  e.  RR
lt_2.2  |-  B  e.  RR
addgt0i.3  |-  0  <  A
addgt0i.4  |-  0  <  B
Assertion
Ref Expression
addgt0ii  |-  0  <  ( A  +  B
)

Proof of Theorem addgt0ii
StepHypRef Expression
1 addgt0i.3 . 2  |-  0  <  A
2 addgt0i.4 . 2  |-  0  <  B
3 lt_2.1 . . 3  |-  A  e.  RR
4 lt_2.2 . . 3  |-  B  e.  RR
53, 4addgt0i 10091 . 2  |-  ( ( 0  <  A  /\  0  <  B )  -> 
0  <  ( A  +  B ) )
61, 2, 5mp2an 672 1  |-  0  <  ( A  +  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283   RRcr 9490   0cc0 9491    + caddc 9494    < clt 9627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633
This theorem is referenced by:  eqneg  10263  2pos  10626  3pos  10628  4pos  10630  5pos  10632  6pos  10633  7pos  10634  8pos  10635  9pos  10636  10pos  10637
  Copyright terms: Public domain W3C validator