MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addgt0d Structured version   Unicode version

Theorem addgt0d 10116
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addgt0d.3  |-  ( ph  ->  0  <  A )
addgt0d.4  |-  ( ph  ->  0  <  B )
Assertion
Ref Expression
addgt0d  |-  ( ph  ->  0  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem addgt0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 0red 9586 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4 addgt0d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  A )
53, 1, 4ltled 9721 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
6 addgt0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  B )
71, 2, 5, 6addgegt0d 10115 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    < clt 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  tanhlt1  13745  pythagtriplem11  14197  pythagtriplem12  14198  pythagtriplem13  14199  pythagtriplem14  14200  pythagtriplem16  14202  asinsin  22944  clwwlkf1  24458  bpoly4  29384  pellexlem2  30357  stirlinglem15  31343
  Copyright terms: Public domain W3C validator