Theorem addgt0 5712

Description: The sum of 2 positive numbers is positive.

Assertion

Ref	Expression
addgt0	|- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 < A /\ 0 < B)) -> 0 < (A + B))

Proof of Theorem addgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2678	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < A <-> 0 < if(A e. RR, A, 0)))
2	1	anbi1d 628	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((0 < A /\ 0 < B) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B)))
3		opreq1 4026	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A + B) = (if(A e. RR, A, 0) + B))
4	3	breq2d 2685	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < (A + B) <-> 0 < (if(A e. RR, A, 0) + B)))
5	2, 4	imbi12d 637	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A + B)) <-> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) -> 0 < (if(A e. RR, A, 0) + B))))
6		breq2 2678	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (0 < B <-> 0 < if(B e. RR, B, 0)))
7	6	anbi2d 627	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0))))
8		opreq2 4027	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (if(A e. RR, A, 0) + B) = (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)))
9	8	breq2d 2685	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (0 < (if(A e. RR, A, 0) + B) <-> 0 < (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0))))
10	7, 9	imbi12d 637	. . 3 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) -> 0 < (if(A e. RR, A, 0) + B)) <-> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0)) -> 0 < (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)))))
11		0re 5505	. . . . 5 |- 0 e. RR
12	11	elimel 2446	. . . 4 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
13	11	elimel 2446	. . . 4 |- if(B e. RR, B, 0) e. RR
14	12, 13	addgt0i 5663	. . 3 |- ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0)) -> 0 < (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)))
15	5, 10, 14	dedth2h 2439	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A + B)))
16	15	imp 357	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 < A /\ 0 < B)) -> 0 < (A + B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  ifcif 2413   class class class wbr 2674  (class class class)co 4021  RRcr 5298  0cc0 5299   + caddc 5302   < clt 5551

This theorem is referenced by:  rpaddcl 6120  climmullem2 7211  efcn 7514  cdj3i 10452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556

Copyright terms: Public domain