MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge0d Structured version   Unicode version

Theorem addge0d 10178
Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
addge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem addge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 addge0 10092 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  +  B
) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1265 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1867   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   RRcr 9527   0cc0 9528    + caddc 9531    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670
This theorem is referenced by:  fldiv  12073  modaddmodlo  12140  cjmulge0  13177  absrele  13339  abstri  13361  prdsxmetlem  21320  nmotri  21697  tchcphlem1  22128  trirn  22273  minveclem4  22293  ibladdlem  22684  itgaddlem1  22687  itgaddlem2  22688  iblabs  22693  cxpaddle  23596  asinlem3a  23700  fsumharmonic  23841  lgamgulmlem3  23860  mulog2sumlem2  24275  selbergb  24289  selberg2b  24292  pntrlog2bndlem2  24318  pntrlog2bnd  24324  abvcxp  24355  smcnlem  26219  minvecolem4  26408  fsumrp0cl  28337  sqsscirc1  28594  omssubaddlem  29001  itg2addnc  31744  ibladdnclem  31746  itgaddnclem1  31748  itgaddnclem2  31749  iblabsnc  31754  iblmulc2nc  31755  ftc1anclem4  31768  ftc1anclem7  31771  ftc1anc  31773  areacirc  31785  rmxypos  35551  wallispi2lem1  37550  fourierdlem15  37601  fourierdlem30  37616  fourierdlem47  37633  nn0eo  39153
  Copyright terms: Public domain W3C validator