MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge0d Structured version   Unicode version

Theorem addge0d 9911
Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
addge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem addge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 addge0 9824 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  +  B
) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1214 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281    <_ cle 9415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420
This theorem is referenced by:  fldiv  11695  modaddmodlo  11759  cjmulge0  12631  absrele  12793  abstri  12814  prdsxmetlem  19902  nmotri  20277  tchcphlem1  20709  trirn  20858  minveclem4  20878  ibladdlem  21256  itgaddlem1  21259  itgaddlem2  21260  iblabs  21265  cxpaddle  22149  asinlem3a  22224  fsumharmonic  22364  mulog2sumlem2  22743  selbergb  22757  selberg2b  22760  pntrlog2bndlem2  22786  pntrlog2bnd  22792  abvcxp  22823  smcnlem  24027  minvecolem4  24216  fsumrp0cl  26091  sqsscirc1  26274  lgamgulmlem3  26947  itg2addnc  28371  ibladdnclem  28373  itgaddnclem1  28375  itgaddnclem2  28376  iblabsnc  28381  iblmulc2nc  28382  ftc1anclem4  28395  ftc1anclem7  28398  ftc1anc  28400  areacirc  28414  rmxypos  29215  wallispi2lem1  29791
  Copyright terms: Public domain W3C validator