MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge01d Structured version   Unicode version

Theorem addge01d 10152
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
addge01d  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )

Proof of Theorem addge01d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 addge01 10074 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    <_ cle 9641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646
This theorem is referenced by:  xralrple  11416  sermono  12119  bernneq  12272  sqrlem7  13062  absrele  13121  climserle  13465  iseraltlem3  13486  fsumless  13590  sinbnd  13793  sadcaddlem  13983  mndodconglem  16438  isabvd  17340  ovolicc2lem4  21799  ioombl1lem4  21839  ioorcl2  21849  mbfi1fseqlem6  21995  coemulhi  22518  cxpaddle  22992  jensenlem2  23183  padicabv  23681  axpaschlem  24066  chscllem2  26379  hstle1  26968  esumpcvgval  27909  itg2addnclem  29993  itg2addnc  29996  areacirclem5  30038  pell1qrge1  30734  ltrmxnn0  30815  wallispilem4  31691  fourierdlem42  31772  fourierdlem65  31795
  Copyright terms: Public domain W3C validator