Theorem addge01 9936

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge01	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Proof of Theorem addge01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9473	. . . 4 |- 0 e. RR
2		leadd2 9895	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1302	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
4	3	ancoms 453	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
5		recn 9459	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6	5	addid1d 9656	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A + 0 ) = A )
7	6	adantr 465	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + 0 ) = A )
8	7	breq1d 4386	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + 0 ) <_ ( A + B ) <-> A <_ ( A + B ) ) )
9	4, 8	bitrd 253	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1757   class class class wbr 4376  (class class class)co 6176   RRcr 9368   0cc0 9369   + caddc 9372   <_ cle 9506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511

This theorem is referenced by:  addge02  9937  subge02  9942  addge01d  10014  nn0addge1  10713  elfzmlbp  11578  elfzelfzadd  11595  flbi2  11752  hashdom  12230  atanlogaddlem  22410  ressatans  22431  axsegconlem7  23290  axsegconlem10  23293  cdj1i  25958  cdj3lem2b  25962