Theorem adderpq 8789

Description: Addition is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adderpq	|- ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) )

Proof of Theorem adderpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqercl 8764	. . . 4 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) e. Q. )
2		nqercl 8764	. . . 4 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) e. Q. )
3		addpqnq 8771	. . . 4 |- ( ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 464	. . 3 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
5		enqer 8754	. . . . . 6 |- ~Q Er ( N. X. N. )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
7		nqerrel 8765	. . . . . . 7 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> A ~Q ( /Q ` A ) )
8	7	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> A ~Q ( /Q ` A ) )
9		elpqn 8758	. . . . . . . . 9 |- ( ( /Q ` A ) e. Q. -> ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) )
10	1, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) )
11		adderpqlem 8787	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) )
12	11	3exp 1152	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B e. ( N. X. N. ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) ) ) )
13	10, 12	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( B e. ( N. X. N. ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) ) )
14	13	imp 419	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) )
15	8, 14	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) )
16		nqerrel 8765	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> B ~Q ( /Q ` B ) )
17	16	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> B ~Q ( /Q ` B ) )
18		elpqn 8758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( /Q ` B ) e. Q. -> ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) )
19	2, 18	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) )
20		adderpqlem 8787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) )
21	20	3exp 1152	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) ) ) )
22	19, 21	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) ) )
23	10, 22	mpan9 456	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) )
24	17, 23	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) )
25		addcompq 8783	. . . . . 6 |- ( B +pQ ( /Q ` A ) ) = ( ( /Q ` A ) +pQ B )
26		addcompq 8783	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) = ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) )
27	24, 25, 26	3brtr3g 4203	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) )
28	6, 15, 27	ertrd 6880	. . . 4 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) )
29		addpqf 8777	. . . . . 6 |- +pQ : ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) --> ( N. X. N. )
30	29	fovcl 6134	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) e. ( N. X. N. ) )
31	29	fovcl 6134	. . . . . 6 |- ( ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) )
32	10, 19, 31	syl2an 464	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) )
33		nqereq 8768	. . . . 5 |- ( ( ( A +pQ B ) e. ( N. X. N. ) /\ ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) <-> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) <-> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) ) )
35	28, 34	mpbid 202	. . 3 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
36	4, 35	eqtr4d 2439	. 2 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) ) )
37		0nnq 8757	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. Q.
38		nqerf 8763	. . . . . . . . . . . 12 |- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.
39	38	fdmi 5555	. . . . . . . . . . 11 |- dom /Q = ( N. X. N. )
40	39	eleq2i 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom /Q <-> A e. ( N. X. N. ) )
41		ndmfv 5714	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. dom /Q -> ( /Q ` A ) = (/) )
42	40, 41	sylnbir 299	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) = (/) )
43	42	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. Q. <-> (/) e. Q. ) )
44	37, 43	mtbiri 295	. . . . . . 7 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> -. ( /Q ` A ) e. Q. )
45	44	con4i 124	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` A ) e. Q. -> A e. ( N. X. N. ) )
46	39	eleq2i 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. dom /Q <-> B e. ( N. X. N. ) )
47		ndmfv 5714	. . . . . . . . . 10 |- ( -. B e. dom /Q -> ( /Q ` B ) = (/) )
48	46, 47	sylnbir 299	. . . . . . . . 9 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) = (/) )
49	48	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` B ) e. Q. <-> (/) e. Q. ) )
50	37, 49	mtbiri 295	. . . . . . 7 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> -. ( /Q ` B ) e. Q. )
51	50	con4i 124	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` B ) e. Q. -> B e. ( N. X. N. ) )
52	45, 51	anim12i 550	. . . . 5 |- ( ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) )
53	52	con3i 129	. . . 4 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> -. ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) )
54		addnqf 8781	. . . . . 6 |- +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
55	54	fdmi 5555	. . . . 5 |- dom +Q = ( Q. X. Q. )
56	55	ndmov 6190	. . . 4 |- ( -. ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = (/) )
57	53, 56	syl 16	. . 3 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = (/) )
58		0nelxp 4865	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( N. X. N. )
59	39	eleq2i 2468	. . . . . 6 |- ( (/) e. dom /Q <-> (/) e. ( N. X. N. ) )
60	58, 59	mtbir 291	. . . . 5 |- -. (/) e. dom /Q
61	29	fdmi 5555	. . . . . . 7 |- dom +pQ = ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
62	61	ndmov 6190	. . . . . 6 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) = (/) )
63	62	eleq1d 2470	. . . . 5 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) e. dom /Q <-> (/) e. dom /Q ) )
64	60, 63	mtbiri 295	. . . 4 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> -. ( A +pQ B ) e. dom /Q )
65		ndmfv 5714	. . . 4 |- ( -. ( A +pQ B ) e. dom /Q -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = (/) )
66	64, 65	syl 16	. . 3 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = (/) )
67	57, 66	eqtr4d 2439	. 2 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) ) )
68	36, 67	pm2.61i 158	1 |- ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Er wer 6861   N.cnpi 8675   +pQ cplpq 8679   ~Q ceq 8682   Q.cnq 8683   /Qcerq 8685   +Q cplq 8686

This theorem is referenced by:  addassnq  8791  distrnq  8794  ltexnq  8808

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-1nq 8749