Theorem adderpq 9406

Description: Addition is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adderpq	|- ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) )

Proof of Theorem adderpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqercl 9381	. . . 4 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) e. Q. )
2		nqercl 9381	. . . 4 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) e. Q. )
3		addpqnq 9388	. . . 4 |- ( ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 484	. . 3 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
5		enqer 9371	. . . . . 6 |- ~Q Er ( N. X. N. )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
7		nqerrel 9382	. . . . . . 7 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> A ~Q ( /Q ` A ) )
8	7	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> A ~Q ( /Q ` A ) )
9		elpqn 9375	. . . . . . . . 9 |- ( ( /Q ` A ) e. Q. -> ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) )
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) )
11		adderpqlem 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) )
12	11	3exp 1214	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B e. ( N. X. N. ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) ) ) )
13	10, 12	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( B e. ( N. X. N. ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) ) )
14	13	imp 435	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ) )
15	8, 14	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ B ) )
16		nqerrel 9382	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> B ~Q ( /Q ` B ) )
17	16	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> B ~Q ( /Q ` B ) )
18		elpqn 9375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( /Q ` B ) e. Q. -> ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) )
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) )
20		adderpqlem 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) )
21	20	3exp 1214	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) ) ) )
22	19, 21	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) ) )
23	10, 22	mpan9 476	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) ) )
24	17, 23	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( B +pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) )
25		addcompq 9400	. . . . . 6 |- ( B +pQ ( /Q ` A ) ) = ( ( /Q ` A ) +pQ B )
26		addcompq 9400	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` B ) +pQ ( /Q ` A ) ) = ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) )
27	24, 25, 26	3brtr3g 4447	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) )
28	6, 15, 27	ertrd 7404	. . . 4 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) )
29		addpqf 9394	. . . . . 6 |- +pQ : ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) --> ( N. X. N. )
30	29	fovcl 6427	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) e. ( N. X. N. ) )
31	29	fovcl 6427	. . . . . 6 |- ( ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) )
32	10, 19, 31	syl2an 484	. . . . 5 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) )
33		nqereq 9385	. . . . 5 |- ( ( ( A +pQ B ) e. ( N. X. N. ) /\ ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) <-> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) <-> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) ) )
35	28, 34	mpbid 215	. . 3 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) +pQ ( /Q ` B ) ) ) )
36	4, 35	eqtr4d 2498	. 2 |- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) ) )
37		0nnq 9374	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. Q.
38		nqerf 9380	. . . . . . . . . . . 12 |- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.
39	38	fdmi 5756	. . . . . . . . . . 11 |- dom /Q = ( N. X. N. )
40	39	eleq2i 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom /Q <-> A e. ( N. X. N. ) )
41		ndmfv 5911	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. dom /Q -> ( /Q ` A ) = (/) )
42	40, 41	sylnbir 313	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) = (/) )
43	42	eleq1d 2523	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. Q. <-> (/) e. Q. ) )
44	37, 43	mtbiri 309	. . . . . . 7 |- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> -. ( /Q ` A ) e. Q. )
45	44	con4i 135	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` A ) e. Q. -> A e. ( N. X. N. ) )
46	39	eleq2i 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. dom /Q <-> B e. ( N. X. N. ) )
47		ndmfv 5911	. . . . . . . . . 10 |- ( -. B e. dom /Q -> ( /Q ` B ) = (/) )
48	46, 47	sylnbir 313	. . . . . . . . 9 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) = (/) )
49	48	eleq1d 2523	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` B ) e. Q. <-> (/) e. Q. ) )
50	37, 49	mtbiri 309	. . . . . . 7 |- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> -. ( /Q ` B ) e. Q. )
51	50	con4i 135	. . . . . 6 |- ( ( /Q ` B ) e. Q. -> B e. ( N. X. N. ) )
52	45, 51	anim12i 574	. . . . 5 |- ( ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) )
53	52	con3i 142	. . . 4 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> -. ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) )
54		addnqf 9398	. . . . . 6 |- +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
55	54	fdmi 5756	. . . . 5 |- dom +Q = ( Q. X. Q. )
56	55	ndmov 6479	. . . 4 |- ( -. ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = (/) )
57	53, 56	syl 17	. . 3 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = (/) )
58		0nelxp 4880	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( N. X. N. )
59	39	eleq2i 2531	. . . . . 6 |- ( (/) e. dom /Q <-> (/) e. ( N. X. N. ) )
60	58, 59	mtbir 305	. . . . 5 |- -. (/) e. dom /Q
61	29	fdmi 5756	. . . . . . 7 |- dom +pQ = ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
62	61	ndmov 6479	. . . . . 6 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A +pQ B ) = (/) )
63	62	eleq1d 2523	. . . . 5 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A +pQ B ) e. dom /Q <-> (/) e. dom /Q ) )
64	60, 63	mtbiri 309	. . . 4 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> -. ( A +pQ B ) e. dom /Q )
65		ndmfv 5911	. . . 4 |- ( -. ( A +pQ B ) e. dom /Q -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = (/) )
66	64, 65	syl 17	. . 3 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( /Q ` ( A +pQ B ) ) = (/) )
67	57, 66	eqtr4d 2498	. 2 |- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) ) )
68	36, 67	pm2.61i 169	1 |- ( ( /Q ` A ) +Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A +pQ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   (/)c0 3742   class class class wbr 4415   X. cxp 4850   dom cdm 4852   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Er wer 7385   N.cnpi 9294   +pQ cplpq 9298   ~Q ceq 9301   Q.cnq 9302   /Qcerq 9304   +Q cplq 9305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-omul 7212  df-er 7388  df-ni 9322  df-pli 9323  df-mi 9324  df-lti 9325  df-plpq 9358  df-enq 9361  df-nq 9362  df-erq 9363  df-plq 9364  df-1nq 9366

This theorem is referenced by:  addassnq  9408  distrnq  9411  ltexnq  9425