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Theorem adderpq 9406
Description: Addition is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adderpq  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )

Proof of Theorem adderpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 9381 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 9381 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 addpqnq 9388 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 484 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 9371 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 9382 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 9375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 adderpqlem 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  B ) ) )
12113exp 1214 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) )
1413imp 435 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) )
158, 14mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
) )
16 nqerrel 9382 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 9375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 adderpqlem 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 476 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  +pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 addcompq 9400 . . . . . 6  |-  ( B 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
)
26 addcompq 9400 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 7404 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 addpqf 9394 . . . . . 6  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 6427 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 6427 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 9385 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) ) )
37 0nnq 9374 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 9380 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5911 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 313 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 309 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 135 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5911 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 313 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 309 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 135 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 574 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 142 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 addnqf 9398 . . . . . 6  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5756 . . . . 5  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6479 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 17 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4880 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2531 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 305 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5756 . . . . . . 7  |-  dom  +pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6479 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
+pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 309 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  +pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5911 . . . 4  |-  ( -.  ( A  +pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 17 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2498 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
+pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 169 1  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   (/)c0 3742   class class class wbr 4415    X. cxp 4850   dom cdm 4852   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    Er wer 7385   N.cnpi 9294    +pQ cplpq 9298    ~Q ceq 9301   Q.cnq 9302   /Qcerq 9304    +Q cplq 9305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-omul 7212  df-er 7388  df-ni 9322  df-pli 9323  df-mi 9324  df-lti 9325  df-plpq 9358  df-enq 9361  df-nq 9362  df-erq 9363  df-plq 9364  df-1nq 9366
This theorem is referenced by:  addassnq  9408  distrnq  9411  ltexnq  9425
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