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Theorem adderpq 8789
Description: Addition is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adderpq  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )

Proof of Theorem adderpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 8764 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 8764 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 addpqnq 8771 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 8754 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 8765 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 8758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 adderpqlem 8787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  B ) ) )
12113exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) )
1413imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) )
158, 14mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
) )
16 nqerrel 8765 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 8758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 adderpqlem 8787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  +pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 addcompq 8783 . . . . . 6  |-  ( B 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
)
26 addcompq 8783 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 6880 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 addpqf 8777 . . . . . 6  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 6134 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 6134 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 8768 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) ) )
37 0nnq 8757 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 8763 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 299 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 124 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 299 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 124 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 129 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 addnqf 8781 . . . . . 6  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5555 . . . . 5  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6190 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4865 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2468 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 291 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5555 . . . . . . 7  |-  dom  +pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6190 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
+pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 295 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  +pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5714 . . . 4  |-  ( -.  ( A  +pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2439 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
+pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 158 1  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    Er wer 6861   N.cnpi 8675    +pQ cplpq 8679    ~Q ceq 8682   Q.cnq 8683   /Qcerq 8685    +Q cplq 8686
This theorem is referenced by:  addassnq  8791  distrnq  8794  ltexnq  8808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-1nq 8749
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