HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem addcos 8724
Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addcos |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((cos` A) + (cos` B)) = (2 x. ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))))
Proof of Theorem addcos
StepHypRef Expression
1 addcom 6458 . . 3 |- (((cos` A) e. CC /\ (cos` B) e. CC) -> ((cos` A) + (cos` B)) = ((cos` B) + (cos` A)))
2 coscl 8697 . . 3 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
3 coscl 8697 . . 3 |- (B e. CC -> (cos` B) e. CC)
41, 2, 3syl2an 503 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((cos` A) + (cos` B)) = ((cos` B) + (cos` A)))
5 halfaddsub 7227 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((A + B) / 2) + ((A - B) / 2)) = A /\ (((A + B) / 2) - ((A - B) / 2)) = B))
65simprd 352 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A + B) / 2) - ((A - B) / 2)) = B)
76fveq2d 4685 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (cos` (((A + B) / 2) - ((A - B) / 2))) = (cos` B))
85simplld 348 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A + B) / 2) + ((A - B) / 2)) = A)
98fveq2d 4685 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (cos` (((A + B) / 2) + ((A - B) / 2))) = (cos` A))
107, 9opreq12d 4900 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((cos` (((A + B) / 2) - ((A - B) / 2))) + (cos` (((A + B) / 2) + ((A - B) / 2)))) = ((cos` B) + (cos` A)))
11 halfaddsubcl 7226 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A + B) / 2) e. CC /\ ((A - B) / 2) e. CC))
12 mulcl 6456 . . . . . 6 |- (((cos` ((A + B) / 2)) e. CC /\ (cos` ((A - B) / 2)) e. CC) -> ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) e. CC)
13 coscl 8697 . . . . . 6 |- (((A + B) / 2) e. CC -> (cos` ((A + B) / 2)) e. CC)
14 coscl 8697 . . . . . 6 |- (((A - B) / 2) e. CC -> (cos` ((A - B) / 2)) e. CC)
1512, 13, 14syl2an 503 . . . . 5 |- ((((A + B) / 2) e. CC /\ ((A - B) / 2) e. CC) -> ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) e. CC)
1611, 15syl 12 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) e. CC)
17 mulcl 6456 . . . . . 6 |- (((sin` ((A + B) / 2)) e. CC /\ (sin` ((A - B) / 2)) e. CC) -> ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2))) e. CC)
18 sincl 8696 . . . . . 6 |- (((A + B) / 2) e. CC -> (sin` ((A + B) / 2)) e. CC)
19 sincl 8696 . . . . . 6 |- (((A - B) / 2) e. CC -> (sin` ((A - B) / 2)) e. CC)
2017, 18, 19syl2an 503 . . . . 5 |- ((((A + B) / 2) e. CC /\ ((A - B) / 2) e. CC) -> ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2))) e. CC)
2111, 20syl 12 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2))) e. CC)
22 ppncan 6648 . . . 4 |- ((((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) e. CC /\ ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2))) e. CC /\ ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) e. CC) -> ((((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2)))) + (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) - ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2))))) = (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))))
2316, 21, 16, 22syl111anc 1100 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2)))) + (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) - ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2))))) = (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))))
24 cossub 8721 . . . . 5 |- ((((A + B) / 2) e. CC /\ ((A - B) / 2) e. CC) -> (cos` (((A + B) / 2) - ((A - B) / 2))) = (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2)))))
25 cosadd 8719 . . . . 5 |- ((((A + B) / 2) e. CC /\ ((A - B) / 2) e. CC) -> (cos` (((A + B) / 2) + ((A - B) / 2))) = (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) - ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2)))))
2624, 25opreq12d 4900 . . . 4 |- ((((A + B) / 2) e. CC /\ ((A - B) / 2) e. CC) -> ((cos` (((A + B) / 2) - ((A - B) / 2))) + (cos` (((A + B) / 2) + ((A - B) / 2)))) = ((((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2)))) + (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) - ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2))))))
2711, 26syl 12 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((cos` (((A + B) / 2) - ((A - B) / 2))) + (cos` (((A + B) / 2) + ((A - B) / 2)))) = ((((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2)))) + (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) - ((sin` ((A + B) / 2)) x. (sin` ((A - B) / 2))))))
28 2times 7188 . . . 4 |- (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) e. CC -> (2 x. ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))) = (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))))
2916, 28syl 12 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (2 x. ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))) = (((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2))) + ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))))
3023, 27, 293eqtr4d 1937 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((cos` (((A + B) / 2) - ((A - B) / 2))) + (cos` (((A + B) / 2) + ((A - B) / 2)))) = (2 x. ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))))
314, 10, 303eqtr2d 1932 1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((cos` A) + (cos` B)) = (2 x. ((cos` ((A + B) / 2)) x. (cos` ((A - B) / 2)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  2c2 7145  sincsin 8557  cosccos 8558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563
Copyright terms: Public domain