Theorem addcomsr 5261

Description: Addition of signed reals is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
addcomsr.1	|- A e. V
addcomsr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addcomsr	|- (A +R B) = (B +R A)

Proof of Theorem addcomsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5232	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		addsrpr 5249	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R )
3		addsrpr 5249	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R +R [<.x, y>.] ~R ) = [<.(z +P. x), (w +P. y)>.] ~R )
4		visset 1860	. . . 4 |- x e. V
5		visset 1860	. . . 4 |- z e. V
6	4, 5	addcompr 5188	. . 3 |- (x +P. z) = (z +P. x)
7		visset 1860	. . . 4 |- y e. V
8		visset 1860	. . . 4 |- w e. V
9	7, 8	addcompr 5188	. . 3 |- (y +P. w) = (w +P. y)
10	1, 2, 3, 6, 9	ecoprcom 4380	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A +R B) = (B +R A))
11		addcomsr.2	. . 3 |- B e. V
12		dmaddsr 5259	. . 3 |- dom +R = (R. X. R.)
13		addcomsr.1	. . 3 |- A e. V
14	11, 12, 13	ndmoprcom 4105	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R.) -> (A +R B) = (B +R A))
15	10, 14	pm2.61i 132	1 |- (A +R B) = (B +R A)

Syntax hints:   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  Vcvv 1858  (class class class)co 4021  P.cnp 5050   +P. cpp 5052   ~R cer 5057  R.cnr 5058   +R cplr 5062

This theorem is referenced by:  pn0sr 5275  sqgt0sr 5280  ssgt0sr 5282  supsrlem2 5291  supsrlem3 5292  supsrlem5 5294  axaddcom 5340  axmulcom 5341  axmulass 5343  axdistr 5344  axi2m1 5350  axcnre 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-plp 5153  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233

Copyright terms: Public domain