MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomsr Structured version   Unicode version

Theorem addcomsr 9357
Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcomsr  |-  ( A  +R  B )  =  ( B  +R  A
)

Proof of Theorem addcomsr
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 9330 . . 3  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 addsrpr 9345 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  )
3 addsrpr 9345 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~R  +R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  )  =  [ <. (
z  +P.  x ) ,  ( w  +P.  y ) >. ]  ~R  )
4 addcompr 9293 . . 3  |-  ( x  +P.  z )  =  ( z  +P.  x
)
5 addcompr 9293 . . 3  |-  ( y  +P.  w )  =  ( w  +P.  y
)
61, 2, 3, 4, 5ecovcom 7313 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  =  ( B  +R  A ) )
7 dmaddsr 9355 . . 3  |-  dom  +R  =  ( R.  X.  R. )
87ndmovcom 6352 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  =  ( B  +R  A ) )
96, 8pm2.61i 164 1  |-  ( A  +R  B )  =  ( B  +R  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6192   P.cnp 9129    +P. cpp 9131    ~R cer 9136   R.cnr 9137    +R cplr 9141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-ec 7205  df-qs 7209  df-ni 9144  df-pli 9145  df-mi 9146  df-lti 9147  df-plpq 9180  df-mpq 9181  df-ltpq 9182  df-enq 9183  df-nq 9184  df-erq 9185  df-plq 9186  df-mq 9187  df-1nq 9188  df-rq 9189  df-ltnq 9190  df-np 9253  df-plp 9255  df-ltp 9257  df-plpr 9327  df-enr 9329  df-nr 9330  df-plr 9331
This theorem is referenced by:  pn0sr  9371  sqgt0sr  9376  map2psrpr  9380  axmulcom  9425  axmulass  9427  axdistr  9428  axi2m1  9429  axcnre  9434
  Copyright terms: Public domain W3C validator