MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomsr Structured version   Unicode version

Theorem addcomsr 9453
Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcomsr  |-  ( A  +R  B )  =  ( B  +R  A
)

Proof of Theorem addcomsr
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 9423 . . 3  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 addsrpr 9441 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  )
3 addsrpr 9441 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~R  +R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  )  =  [ <. (
z  +P.  x ) ,  ( w  +P.  y ) >. ]  ~R  )
4 addcompr 9388 . . 3  |-  ( x  +P.  z )  =  ( z  +P.  x
)
5 addcompr 9388 . . 3  |-  ( y  +P.  w )  =  ( w  +P.  y
)
61, 2, 3, 4, 5ecovcom 7407 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  =  ( B  +R  A ) )
7 dmaddsr 9451 . . 3  |-  dom  +R  =  ( R.  X.  R. )
87ndmovcom 6437 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  =  ( B  +R  A ) )
96, 8pm2.61i 164 1  |-  ( A  +R  B )  =  ( B  +R  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762  (class class class)co 6275   P.cnp 9226    +P. cpp 9228    ~R cer 9231   R.cnr 9232    +R cplr 9236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-ni 9239  df-pli 9240  df-mi 9241  df-lti 9242  df-plpq 9275  df-mpq 9276  df-ltpq 9277  df-enq 9278  df-nq 9279  df-erq 9280  df-plq 9281  df-mq 9282  df-1nq 9283  df-rq 9284  df-ltnq 9285  df-np 9348  df-plp 9350  df-ltp 9352  df-enr 9422  df-nr 9423  df-plr 9424
This theorem is referenced by:  pn0sr  9467  sqgt0sr  9472  map2psrpr  9476  axmulcom  9521  axmulass  9523  axdistr  9524  axi2m1  9525  axcnre  9530
  Copyright terms: Public domain W3C validator