MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompr Structured version   Unicode version

Theorem addcompr 9398
Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompr  |-  ( A  +P.  B )  =  ( B  +P.  A
)

Proof of Theorem addcompr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plpv 9387 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  =  { x  |  E. z  e.  A  E. y  e.  B  x  =  ( z  +Q  y ) } )
2 plpv 9387 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  ( B  +P.  A
)  =  { x  |  E. y  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( y  +Q  z ) } )
3 addcomnq 9328 . . . . . . . . 9  |-  ( y  +Q  z )  =  ( z  +Q  y
)
43eqeq2i 2485 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +Q  z )  <->  x  =  ( z  +Q  y
) )
542rexbii 2966 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( y  +Q  z )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +Q  y
) )
6 rexcom 3023 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +Q  y )  <->  E. z  e.  A  E. y  e.  B  x  =  ( z  +Q  y
) )
75, 6bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( y  +Q  z )  <->  E. z  e.  A  E. y  e.  B  x  =  ( z  +Q  y
) )
87abbii 2601 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( y  +Q  z ) }  =  { x  |  E. z  e.  A  E. y  e.  B  x  =  ( z  +Q  y ) }
92, 8syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  ( B  +P.  A
)  =  { x  |  E. z  e.  A  E. y  e.  B  x  =  ( z  +Q  y ) } )
109ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( B  +P.  A
)  =  { x  |  E. z  e.  A  E. y  e.  B  x  =  ( z  +Q  y ) } )
111, 10eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  =  ( B  +P.  A ) )
12 dmplp 9389 . . 3  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )
1312ndmovcom 6445 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  =  ( B  +P.  A ) )
1411, 13pm2.61i 164 1  |-  ( A  +P.  B )  =  ( B  +P.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815  (class class class)co 6283    +Q cplq 9232   P.cnp 9236    +P. cpp 9238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ni 9249  df-pli 9250  df-mi 9251  df-lti 9252  df-plpq 9285  df-enq 9288  df-nq 9289  df-erq 9290  df-plq 9291  df-1nq 9293  df-np 9358  df-plp 9360
This theorem is referenced by:  enrer  9441  addcmpblnr  9445  mulcmpblnrlem  9446  ltsrpr  9453  addcomsr  9463  mulcomsr  9465  mulasssr  9466  distrsr  9467  ltsosr  9470  0lt1sr  9471  0idsr  9473  1idsr  9474  ltasr  9476  recexsrlem  9479  mulgt0sr  9481  ltpsrpr  9485  map2psrpr  9486
  Copyright terms: Public domain W3C validator