MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompi Structured version   Unicode version

Theorem addcompi 9270
Description: Addition of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompi  |-  ( A  +N  B )  =  ( B  +N  A
)

Proof of Theorem addcompi
StepHypRef Expression
1 pinn 9254 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 9254 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnacom 7264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )
5 addpiord 9260 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
6 addpiord 9260 . . . 4  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  +N  A
)  =  ( B  +o  A ) )
76ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  +N  A
)  =  ( B  +o  A ) )
84, 5, 73eqtr4d 2492 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( B  +N  A ) )
9 dmaddpi 9266 . . 3  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
109ndmovcom 6443 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( B  +N  A ) )
118, 10pm2.61i 164 1  |-  ( A  +N  B )  =  ( B  +N  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802  (class class class)co 6277   omcom 6681    +o coa 7125   N.cnpi 9220    +N cpli 9221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-oadd 7132  df-ni 9248  df-pli 9249
This theorem is referenced by:  addcompq  9326  adderpqlem  9330
  Copyright terms: Public domain W3C validator