MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Unicode version

Theorem addcomli 9770
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1  |-  A  e.  CC
mul.2  |-  B  e.  CC
addcomli.2  |-  ( A  +  B )  =  C
Assertion
Ref Expression
addcomli  |-  ( B  +  A )  =  C

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3  |-  B  e.  CC
2 mul.1 . . 3  |-  A  e.  CC
31, 2addcomi 9769 . 2  |-  ( B  +  A )  =  ( A  +  B
)
4 addcomli.2 . 2  |-  ( A  +  B )  =  C
53, 4eqtri 2470 1  |-  ( B  +  A )  =  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1381    e. wcel 1802  (class class class)co 6277   CCcc 9488    + caddc 9493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-ltxr 9631
This theorem is referenced by:  mvlladdi  9837  negsubdi2i  9906  1p2e3  10661  4t4e16  11052  6t3e18  11057  6t5e30  11059  7t3e21  11062  7t4e28  11063  7t6e42  11065  7t7e49  11066  8t3e24  11068  8t4e32  11069  8t5e40  11070  8t8e64  11073  9t3e27  11075  9t4e36  11076  9t5e45  11077  9t6e54  11078  9t7e63  11079  9t8e72  11080  9t9e81  11081  bitsfzo  13957  gcdaddmlem  14038  gcdi  14431  2exp8  14446  2exp16  14447  37prm  14478  43prm  14479  83prm  14480  139prm  14481  163prm  14482  317prm  14483  631prm  14484  1259lem1  14485  1259lem2  14486  1259lem3  14487  1259lem4  14488  1259lem5  14489  1259prm  14490  2503lem1  14491  2503lem2  14492  2503lem3  14493  2503prm  14494  4001lem1  14495  4001lem2  14496  4001lem4  14498  4001prm  14499  iaa  22586  dvradcnv  22681  eulerid  22732  binom4  23046  log2ublem3  23144  log2ub  23145  lgsdir2lem1  23463  m1lgs  23502  ex-ind-dvds  25035  vcm  25329  fib5  28210  fib6  28211  4bc3eq4  28977  bpoly4  29789  lhe4.4ex1a  31203  dirkertrigeqlem1  31765  sqwvfoura  31896  sqwvfourb  31897  fourierswlem  31898  fouriersw  31899  inductionexd  37573
  Copyright terms: Public domain W3C validator