MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Unicode version

Theorem addcomli 9772
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1  |-  A  e.  CC
mul.2  |-  B  e.  CC
addcomli.2  |-  ( A  +  B )  =  C
Assertion
Ref Expression
addcomli  |-  ( B  +  A )  =  C

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3  |-  B  e.  CC
2 mul.1 . . 3  |-  A  e.  CC
31, 2addcomi 9771 . 2  |-  ( B  +  A )  =  ( A  +  B
)
4 addcomli.2 . 2  |-  ( A  +  B )  =  C
53, 4eqtri 2496 1  |-  ( B  +  A )  =  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6285   CCcc 9491    + caddc 9496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634
This theorem is referenced by:  negsubdi2i  9906  1p2e3  10661  4t4e16  11050  6t3e18  11055  6t5e30  11057  7t3e21  11060  7t4e28  11061  7t6e42  11063  7t7e49  11064  8t3e24  11066  8t4e32  11067  8t5e40  11068  8t8e64  11071  9t3e27  11073  9t4e36  11074  9t5e45  11075  9t6e54  11076  9t7e63  11077  9t8e72  11078  9t9e81  11079  bitsfzo  13947  gcdaddmlem  14028  gcdi  14421  2exp8  14435  2exp16  14436  37prm  14467  43prm  14468  83prm  14469  139prm  14470  163prm  14471  317prm  14472  631prm  14473  1259lem1  14474  1259lem2  14475  1259lem3  14476  1259lem4  14477  1259lem5  14478  1259prm  14479  2503lem1  14480  2503lem2  14481  2503lem3  14482  2503prm  14483  4001lem1  14484  4001lem2  14485  4001lem4  14487  4001prm  14488  iaa  22547  dvradcnv  22642  eulerid  22692  binom4  23006  log2ublem3  23104  log2ub  23105  lgsdir2lem1  23423  m1lgs  23462  vcm  25237  4bc3eq4  28862  bpoly4  29674  lhe4.4ex1a  31061
  Copyright terms: Public domain W3C validator