Theorem addcnsrec 5328

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 5327 and mulcnsrec 5329.

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E)

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 5318	. 2 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> (<.A, B>. + <.C, D>.) = <.(A +R C), (B +R D)>.)
2		opex 2838	. . . 4 |- <.A, B>. e. V
3	2	ecid 4361	. . 3 |- [<.A, B>.]`'E = <.A, B>.
4		opex 2838	. . . 4 |- <.C, D>. e. V
5	4	ecid 4361	. . 3 |- [<.C, D>.]`'E = <.C, D>.
6	3, 5	opreq12i 4031	. 2 |- ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = (<.A, B>. + <.C, D>.)
7		opex 2838	. . 3 |- <.(A +R C), (B +R D)>. e. V
8	7	ecid 4361	. 2 |- [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E = <.(A +R C), (B +R D)>.
9	1, 6, 8	3eqtr4g 1578	1 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  <.cop 2463  Ecep 2886  `'ccnv 3226  (class class class)co 4021  [cec 4317  R.cnr 5058   +R cplr 5062   + caddc 5302

This theorem is referenced by:  axaddcom 5340  axaddass 5342  axdistr 5344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-eprel 2888  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fv 3255  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-ec 4321  df-c 5305  df-plus 5310

Copyright terms: Public domain