Theorem addcnsrec 6415

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 6414 and mulcnsrec 6416.

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`' _E + [<.C, D>.]`' _E ) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`' _E )

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 6405	. 2 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> (<.A, B>. + <.C, D>.) = <.(A +R C), (B +R D)>.)
2		opex 3527	. . . 4 |- <.A, B>. e. _V
3	2	ecid 5359	. . 3 |- [<.A, B>.]`' _E = <.A, B>.
4		opex 3527	. . . 4 |- <.C, D>. e. _V
5	4	ecid 5359	. . 3 |- [<.C, D>.]`' _E = <.C, D>.
6	3, 5	opreq12i 4894	. 2 |- ([<.A, B>.]`' _E + [<.C, D>.]`' _E ) = (<.A, B>. + <.C, D>.)
7		opex 3527	. . 3 |- <.(A +R C), (B +R D)>. e. _V
8	7	ecid 5359	. 2 |- [<.(A +R C), (B +R D)>.]`' _E = <.(A +R C), (B +R D)>.
9	1, 6, 8	3eqtr4g 1953	1 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`' _E + [<.C, D>.]`' _E ) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`' _E )

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   _E cep 3581  `'ccnv 3985  (class class class)co 4884  [cec 5316  R.cnr 6145   +R cplr 6149   + caddc 6389

This theorem is referenced by:  axaddcom 6428  axaddass 6430  axdistr 6432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-ec 5320  df-c 6392  df-plus 6397

Copyright terms: Public domain