MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclsr Structured version   Unicode version

Theorem addclsr 9458
Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  R. )

Proof of Theorem addclsr
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 9432 . . 3  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 oveq1 6284 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  ) )
32eleq1d 2510 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
4 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  +R  B ) )
54eleq1d 2510 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( ( A  +R  [
<. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  +R  B )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
6 addsrpr 9450 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  )
7 addclpr 9394 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  +P.  z
)  e.  P. )
8 addclpr 9394 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  +P.  w
)  e.  P. )
97, 8anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  +P.  z )  e.  P.  /\  ( y  +P.  w )  e. 
P. ) )
109an4s 824 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  +P.  z )  e.  P.  /\  ( y  +P.  w )  e. 
P. ) )
11 opelxpi 5017 . . . . 5  |-  ( ( ( x  +P.  z
)  e.  P.  /\  ( y  +P.  w
)  e.  P. )  -> 
<. ( x  +P.  z
) ,  ( y  +P.  w ) >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
12 enrex 9442 . . . . . 6  |-  ~R  e.  _V
1312ecelqsi 7365 . . . . 5  |-  ( <.
( x  +P.  z
) ,  ( y  +P.  w ) >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
1410, 11, 133syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
156, 14eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
161, 3, 5, 152ecoptocl 7400 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
1716, 1syl6eleqr 2540 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  R. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   <.cop 4016    X. cxp 4983  (class class class)co 6277   [cec 7307   /.cqs 7308   P.cnp 9235    +P. cpp 9237    ~R cer 9240   R.cnr 9241    +R cplr 9245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-ec 7311  df-qs 7315  df-ni 9248  df-pli 9249  df-mi 9250  df-lti 9251  df-plpq 9284  df-mpq 9285  df-ltpq 9286  df-enq 9287  df-nq 9288  df-erq 9289  df-plq 9290  df-mq 9291  df-1nq 9292  df-rq 9293  df-ltnq 9294  df-np 9357  df-plp 9359  df-ltp 9361  df-enr 9431  df-nr 9432  df-plr 9433
This theorem is referenced by:  dmaddsr  9460  map2psrpr  9485  axaddf  9520  axmulf  9521  axaddrcl  9527  axaddass  9531  axmulass  9532  axdistr  9533
  Copyright terms: Public domain W3C validator