Theorem addclsr 5257

Description: Closure of addition on signed reals.

Assertion

Ref	Expression
addclsr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A +R B) e. R.)

Proof of Theorem addclsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5232	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		opreq1 4026	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = (A +R [<.z, w>.] ~R ))
3	2	eleq1d 1587	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A +R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
4		opreq2 4027	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (A +R [<.z, w>.] ~R ) = (A +R B))
5	4	eleq1d 1587	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> ((A +R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A +R B) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
6		addsrpr 5249	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R )
7		addclpr 5185	. . . . . . 7 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x +P. z) e. P.)
8		addclpr 5185	. . . . . . 7 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y +P. w) e. P.)
9	7, 8	anim12i 340	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
10	9	an4s 519	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
11		opelxpi 3274	. . . . 5 |- (((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.) -> <.(x +P. z), (y +P. w)>. e. (P. X. P.))
12		enrex 5243	. . . . . 6 |- ~R e. V
13	12	ecelqsi 4352	. . . . 5 |- (<.(x +P. z), (y +P. w)>. e. (P. X. P.) -> [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
14	10, 11, 13	3syl 20	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
15	6, 14	eqeltrd 1595	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 4365	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A +R B) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
17	16, 1	syl6eleqr 1606	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A +R B) e. R.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  <.cop 2463   X. cxp 3225  (class class class)co 4021  [cec 4317  /.cqs 4318  P.cnp 5050   +P. cpp 5052   ~R cer 5057  R.cnr 5058   +R cplr 5062

This theorem is referenced by:  dmaddsr 5259  supsrlem1 5290  supsrlem2 5291  axaddopr 5330  axmulopr 5331  axaddrcl 5337  axaddass 5342  axmulass 5343  axdistr 5344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-plp 5153  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233

Copyright terms: Public domain