MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpr Structured version   Unicode version

Theorem addclpr 9392
Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  e.  P. )

Proof of Theorem addclpr
Dummy variables  x  y  z  w  v 
f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 9357 . 2  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  +Q  z ) } )
2 addclnq 9319 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  z
)  e.  Q. )
3 ltanq 9345 . 2  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
4 addcomnq 9325 . 2  |-  ( x  +Q  y )  =  ( y  +Q  x
)
5 addclprlem2 9391 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  +Q  h )  ->  x  e.  ( A  +P.  B ) ) )
61, 2, 3, 4, 5genpcl 9382 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  e.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767  (class class class)co 6282    +Q cplq 9229   P.cnp 9233    +P. cpp 9235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ni 9246  df-pli 9247  df-mi 9248  df-lti 9249  df-plpq 9282  df-mpq 9283  df-ltpq 9284  df-enq 9285  df-nq 9286  df-erq 9287  df-plq 9288  df-mq 9289  df-1nq 9290  df-rq 9291  df-ltnq 9292  df-np 9355  df-plp 9357
This theorem is referenced by:  addasspr  9396  distrlem1pr  9399  distrlem4pr  9400  ltaddpr  9408  ltexprlem7  9416  ltaprlem  9418  ltapr  9419  addcanpr  9420  enrer  9438  addcmpblnr  9442  mulcmpblnr  9444  ltsrpr  9450  1sr  9454  m1r  9455  addclsr  9456  mulclsr  9457  addasssr  9461  mulasssr  9463  distrsr  9464  m1p1sr  9465  m1m1sr  9466  ltsosr  9467  0lt1sr  9468  0idsr  9470  1idsr  9471  00sr  9472  ltasr  9473  recexsrlem  9476  mulgt0sr  9478  mappsrpr  9481
  Copyright terms: Public domain W3C validator