Theorem addclpq 6210

Description: Closure of addition on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
addclpq	|- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. Q.)

Proof of Theorem addclpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 6190	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		opreq1 4889	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = (A +Q [<.z, w>.] ~Q ))
3	2	eleq1d 1963	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> (([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ) <-> (A +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q )))
4		opreq2 4890	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> (A +Q [<.z, w>.] ~Q ) = (A +Q B))
5	4	eleq1d 1963	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ((A +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ) <-> (A +Q B) e. ((N. X. N.)/. ~Q )))
6		addpipq 6206	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
7		addclpi 6172	. . . . . . . 8 |- (((x .N w) e. N. /\ (y .N z) e. N.) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
8		mulclpi 6173	. . . . . . . 8 |- ((x e. N. /\ w e. N.) -> (x .N w) e. N.)
9		mulclpi 6173	. . . . . . . 8 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y .N z) e. N.)
10	7, 8, 9	syl2an 503	. . . . . . 7 |- (((x e. N. /\ w e. N.) /\ (y e. N. /\ z e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
11	10	an42s 567	. . . . . 6 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
12		mulclpi 6173	. . . . . . 7 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
13	12	ad2ant2l 444	. . . . . 6 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (y .N w) e. N.)
14	11, 13	jca 310	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
15		opelxpi 4040	. . . . 5 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.) -> <.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>. e. (N. X. N.))
16		enqex 6200	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
17	16	ecelqsi 5350	. . . . 5 |- (<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>. e. (N. X. N.) -> [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
18	14, 15, 17	3syl 24	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
19	6, 18	eqeltrd 1971	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
20	1, 3, 5, 19	2ecoptocl 5363	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
21	20, 1	syl6eleqr 1982	1 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. Q.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984  (class class class)co 4884  [cec 5316  /.cqs 5317  N.cnpi 6124   +N cpli 6125   .N cmi 6126   ~Q ceq 6130  Q.cnq 6131   +Q cplq 6133

This theorem is referenced by:  dmaddpq 6211  ltbtwnpq 6236  addclprlem2 6271  addclpr 6272  prlem936 6307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-plpq 6187  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191

Copyright terms: Public domain