MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpi Structured version   Unicode version

Theorem addclpi 9259
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 9251 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
2 pinn 9245 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
3 pinn 9245 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
4 nnacl 7252 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
53, 4sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
6 elni2 9244 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
7 nnaordi 7259 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
) ) )
8 ne0i 3789 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) )
97, 8syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  B
)  =/=  (/) ) )
109expcom 433 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  (
(/)  e.  B  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) ) ) )
1110imp32 431 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B ) )  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) )
126, 11sylan2b 473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  =/=  (/) )
13 elni 9243 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  e.  N.  <->  ( ( A  +o  B )  e. 
om  /\  ( A  +o  B )  =/=  (/) ) )
145, 12, 13sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  N. )
152, 14sylan 469 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  N. )
161, 15eqeltrd 2542 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823    =/= wne 2649   (/)c0 3783  (class class class)co 6270   omcom 6673    +o coa 7119   N.cnpi 9211    +N cpli 9212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-ni 9239  df-pli 9240
This theorem is referenced by:  addasspi  9262  distrpi  9265  addcanpi  9266  ltapi  9270  1lt2pi  9272  indpi  9274  addpqf  9311  adderpqlem  9321  addassnq  9325  distrnq  9328  1lt2nq  9340  archnq  9347  prlem934  9400
  Copyright terms: Public domain W3C validator