MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpi Structured version   Unicode version

Theorem addclpi 9268
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 9260 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
2 pinn 9254 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
3 pinn 9254 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
4 nnacl 7267 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
53, 4sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
6 elni2 9253 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
7 nnaordi 7274 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
) ) )
8 ne0i 3710 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) )
97, 8syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  B
)  =/=  (/) ) )
109expcom 436 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  (
(/)  e.  B  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) ) ) )
1110imp32 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B ) )  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) )
126, 11sylan2b 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  =/=  (/) )
13 elni 9252 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  e.  N.  <->  ( ( A  +o  B )  e. 
om  /\  ( A  +o  B )  =/=  (/) ) )
145, 12, 13sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  N. )
152, 14sylan 473 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  N. )
161, 15eqeltrd 2506 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1872    =/= wne 2599   (/)c0 3704  (class class class)co 6249   omcom 6650    +o coa 7134   N.cnpi 9220    +N cpli 9221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-oadd 7141  df-ni 9248  df-pli 9249
This theorem is referenced by:  addasspi  9271  distrpi  9274  addcanpi  9275  ltapi  9279  1lt2pi  9281  indpi  9283  addpqf  9320  adderpqlem  9330  addassnq  9334  distrnq  9337  1lt2nq  9349  archnq  9356  prlem934  9409
  Copyright terms: Public domain W3C validator