MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclnq Structured version   Unicode version

Theorem addclnq 9312
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )

Proof of Theorem addclnq
StepHypRef Expression
1 addpqnq 9305 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) ) )
2 elpqn 9292 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
3 elpqn 9292 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
4 addpqf 9311 . . . . 5  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
54fovcl 6382 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
62, 3, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. ) )
7 nqercl 9298 . . 3  |-  ( ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
91, 8eqeltrd 2548 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    X. cxp 4990   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   N.cnpi 9211    +pQ cplpq 9215   Q.cnq 9219   /Qcerq 9221    +Q cplq 9222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-ni 9239  df-pli 9240  df-mi 9241  df-lti 9242  df-plpq 9275  df-enq 9278  df-nq 9279  df-erq 9280  df-plq 9281  df-1nq 9283
This theorem is referenced by:  halfnq  9343  plpv  9377  dmplp  9379  addclprlem2  9384  addclpr  9385  addasspr  9389  distrlem1pr  9392  distrlem4pr  9393  distrlem5pr  9394  ltaddpr  9401  ltexprlem6  9408  ltexprlem7  9409  prlem936  9414
  Copyright terms: Public domain W3C validator