MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclnq Structured version   Unicode version

Theorem addclnq 9133
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )

Proof of Theorem addclnq
StepHypRef Expression
1 addpqnq 9126 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) ) )
2 elpqn 9113 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
3 elpqn 9113 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
4 addpqf 9132 . . . . 5  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
54fovcl 6214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
62, 3, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. ) )
7 nqercl 9119 . . 3  |-  ( ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
91, 8eqeltrd 2517 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    X. cxp 4857   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   N.cnpi 9030    +pQ cplpq 9034   Q.cnq 9038   /Qcerq 9040    +Q cplq 9041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-omul 6944  df-er 7120  df-ni 9060  df-pli 9061  df-mi 9062  df-lti 9063  df-plpq 9096  df-enq 9099  df-nq 9100  df-erq 9101  df-plq 9102  df-1nq 9104
This theorem is referenced by:  halfnq  9164  plpv  9198  dmplp  9200  addclprlem2  9205  addclpr  9206  addasspr  9210  distrlem1pr  9213  distrlem4pr  9214  distrlem5pr  9215  ltaddpr  9222  ltexprlem6  9229  ltexprlem7  9230  prlem936  9235
  Copyright terms: Public domain W3C validator