MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclnq Structured version   Unicode version

Theorem addclnq 9353
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )

Proof of Theorem addclnq
StepHypRef Expression
1 addpqnq 9346 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) ) )
2 elpqn 9333 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
3 elpqn 9333 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
4 addpqf 9352 . . . . 5  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
54fovcl 6388 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
62, 3, 5syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. ) )
7 nqercl 9339 . . 3  |-  ( ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
86, 7syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
91, 8eqeltrd 2490 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    X. cxp 4821   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   N.cnpi 9252    +pQ cplpq 9256   Q.cnq 9260   /Qcerq 9262    +Q cplq 9263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-ni 9280  df-pli 9281  df-mi 9282  df-lti 9283  df-plpq 9316  df-enq 9319  df-nq 9320  df-erq 9321  df-plq 9322  df-1nq 9324
This theorem is referenced by:  halfnq  9384  plpv  9418  dmplp  9420  addclprlem2  9425  addclpr  9426  addasspr  9430  distrlem1pr  9433  distrlem4pr  9434  distrlem5pr  9435  ltaddpr  9442  ltexprlem6  9449  ltexprlem7  9450  prlem936  9455
  Copyright terms: Public domain W3C validator