MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcj Structured version   Unicode version

Theorem addcj 13035
Description: A number plus its conjugate is twice its real part. Compare Proposition 10-3.4(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
addcj  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  =  ( 2  x.  (
Re `  A )
) )

Proof of Theorem addcj
StepHypRef Expression
1 reval 12993 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
21oveq2d 6248 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( Re
`  A ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  +  ( * `  A
) )  /  2
) ) )
3 cjcl 12992 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
4 addcl 9522 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( A  +  ( * `  A
) )  e.  CC )
53, 4mpdan 666 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  e.  CC )
6 2cn 10565 . . . 4  |-  2  e.  CC
7 2ne0 10587 . . . 4  |-  2  =/=  0
8 divcan2 10174 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  ( * `  A ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( ( A  +  ( * `
 A ) )  /  2 ) )  =  ( A  +  ( * `  A
) ) )
96, 7, 8mp3an23 1316 . . 3  |-  ( ( A  +  ( * `
 A ) )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( A  +  ( * `
 A ) )  /  2 ) )  =  ( A  +  ( * `  A
) ) )
105, 9syl 17 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( A  +  ( * `
 A ) )  /  2 ) )  =  ( A  +  ( * `  A
) ) )
112, 10eqtr2d 2442 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  =  ( 2  x.  (
Re `  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   0cc0 9440    + caddc 9443    x. cmul 9445    / cdiv 10165   2c2 10544   *ccj 12983   Recre 12984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-2 10553  df-cj 12986  df-re 12987
This theorem is referenced by:  addcji  13070  addcjd  13099
  Copyright terms: Public domain W3C validator