Theorem addccncf 15883

Description: Adding a constant is a continuous function.

Hypothesis

Ref	Expression
addccncf.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x + A))}

Assertion

Ref	Expression
addccncf	|- (A e. CC -> F e. (CC-cn->CC))

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem addccncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2634	. 2 |- CC C_ CC
2		axaddcl 6424	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ A e. CC) -> (x + A) e. CC)
3	2	ancoms 484	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ x e. CC) -> (x + A) e. CC)
4	3	r19.21aiva 2176	. . . 4 |- (A e. CC -> A.x e. CC (x + A) e. CC)
5		addccncf.1	. . . . 5 |- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x + A))}
6	5	fopab2 4796	. . . 4 |- (A.x e. CC (x + A) e. CC <-> F:CC-->CC)
7	4, 6	sylib 215	. . 3 |- (A e. CC -> F:CC-->CC)
8		simpr 350	. . . 4 |- ((u e. CC /\ v e. RR+) -> v e. RR+)
9	8	a1i 8	. . 3 |- (A e. CC -> ((u e. CC /\ v e. RR+) -> v e. RR+))
10		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (x = u -> (x + A) = (u + A))
11		oprex 4907	. . . . . . . . . . 11 |- (u + A) e. _V
12	10, 5, 11	fvopab4 4743	. . . . . . . . . 10 |- (u e. CC -> (F` u) = (u + A))
13	12	ad2antrl 442	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ w e. CC)) -> (F` u) = (u + A))
14		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (x = w -> (x + A) = (w + A))
15		oprex 4907	. . . . . . . . . . 11 |- (w + A) e. _V
16	14, 5, 15	fvopab4 4743	. . . . . . . . . 10 |- (w e. CC -> (F` w) = (w + A))
17	16	ad2antll 443	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ w e. CC)) -> (F` w) = (w + A))
18	13, 17	opreq12d 4900	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ w e. CC)) -> ((F` u) - (F` w)) = ((u + A) - (w + A)))
19		pnpcan2 6646	. . . . . . . . . 10 |- ((u e. CC /\ w e. CC /\ A e. CC) -> ((u + A) - (w + A)) = (u - w))
20	19	3expa 1067	. . . . . . . . 9 |- (((u e. CC /\ w e. CC) /\ A e. CC) -> ((u + A) - (w + A)) = (u - w))
21	20	ancoms 484	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ w e. CC)) -> ((u + A) - (w + A)) = (u - w))
22	18, 21	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ w e. CC)) -> ((F` u) - (F` w)) = (u - w))
23	22	adantrr 431	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ ((u e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+)) -> ((F` u) - (F` w)) = (u - w))
24	23	fveq2d 4685	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ ((u e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+)) -> (abs` ((F` u) - (F` w))) = (abs` (u - w)))
25	24	breq1d 3348	. . . 4 |- ((A e. CC /\ ((u e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+)) -> ((abs` ((F` u) - (F` w))) < v <-> (abs` (u - w)) < v))
26	25	exbiri 421	. . 3 |- (A e. CC -> (((u e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) -> ((abs` (u - w)) < v -> (abs` ((F` u) - (F` w))) < v)))
27	7, 9, 26	elcncf1di 8532	. 2 |- (A e. CC -> ((CC C_ CC /\ CC C_ CC) -> F e. (CC-cn->CC)))
28	1, 1, 27	mp2ani 764	1 |- (A e. CC -> F e. (CC-cn->CC))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   - cmin 6445  RR+crp 6453   < clt 6653  abscabs 8000  -cn->ccncf 8524

This theorem is referenced by:  idcncf 15884  pcoass 16085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-cncf 8525

Copyright terms: Public domain