MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcanpi Structured version   Unicode version

Theorem addcanpi 9294
Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcanpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  <-> 
B  =  C ) )

Proof of Theorem addcanpi
StepHypRef Expression
1 addclpi 9287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )
2 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  (
( A  +N  B
)  e.  N.  <->  ( A  +N  C )  e.  N. ) )
31, 2syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  (
( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  C
)  e.  N. )
)
43imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( A  +N  C )  e.  N. )
5 dmaddpi 9285 . . . . . . . . 9  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
6 0npi 9277 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  N.
75, 6ndmovrcl 6460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +N  C )  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. ) )
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  N. )
94, 7, 83syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  C  e.  N. )
10 addpiord 9279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  B )  =  ( A  +o  B ) )
12 addpiord 9279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  C
)  =  ( A  +o  C ) )
1312adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  C )  =  ( A  +o  C ) )
1411, 13eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C
)  <->  ( A  +o  B )  =  ( A  +o  C ) ) )
15 pinn 9273 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
16 pinn 9273 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
17 pinn 9273 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
18 nnacan 7295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  <->  B  =  C ) )
1918biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  ->  B  =  C )
)
2015, 16, 17, 19syl3an 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  ->  B  =  C )
)
21203expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +o  B )  =  ( A  +o  C
)  ->  B  =  C ) )
2214, 21sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C
)  ->  B  =  C ) )
239, 22sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  /\  ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. ) ) )  -> 
( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  B  =  C ) )
2423exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  ->  B  =  C )
) ) )
2524imp4b 590 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C ) )  ->  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C ) )  ->  B  =  C ) )
2625pm2.43i 47 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C ) )  ->  B  =  C )
2726ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  B  =  C ) )
28 oveq2 6304 . 2  |-  ( B  =  C  ->  ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C
) )
2927, 28impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  <-> 
B  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   omcom 6699    +o coa 7145   N.cnpi 9239    +N cpli 9240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-ni 9267  df-pli 9268
This theorem is referenced by:  adderpqlem  9349
  Copyright terms: Public domain W3C validator