MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcanpi Structured version   Unicode version

Theorem addcanpi 9313
Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcanpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  <-> 
B  =  C ) )

Proof of Theorem addcanpi
StepHypRef Expression
1 addclpi 9306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )
2 eleq1 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  (
( A  +N  B
)  e.  N.  <->  ( A  +N  C )  e.  N. ) )
31, 2syl5ib 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  (
( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  C
)  e.  N. )
)
43imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( A  +N  C )  e.  N. )
5 dmaddpi 9304 . . . . . . . . 9  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
6 0npi 9296 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  N.
75, 6ndmovrcl 6460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +N  C )  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. ) )
8 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  N. )
94, 7, 83syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  C  e.  N. )
10 addpiord 9298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
1110adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  B )  =  ( A  +o  B ) )
12 addpiord 9298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  C
)  =  ( A  +o  C ) )
1312adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  C )  =  ( A  +o  C ) )
1411, 13eqeq12d 2442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C
)  <->  ( A  +o  B )  =  ( A  +o  C ) ) )
15 pinn 9292 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
16 pinn 9292 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
17 pinn 9292 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
18 nnacan 7328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  <->  B  =  C ) )
1918biimpd 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  ->  B  =  C )
)
2015, 16, 17, 19syl3an 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  ->  B  =  C )
)
21203expa 1205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +o  B )  =  ( A  +o  C
)  ->  B  =  C ) )
2214, 21sylbid 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C
)  ->  B  =  C ) )
239, 22sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  /\  ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. ) ) )  -> 
( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  B  =  C ) )
2423exp32 608 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  ->  B  =  C )
) ) )
2524imp4b 593 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C ) )  ->  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C ) )  ->  B  =  C ) )
2625pm2.43i 49 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C ) )  ->  B  =  C )
2726ex 435 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  ->  B  =  C ) )
28 oveq2 6304 . 2  |-  ( B  =  C  ->  ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C
) )
2927, 28impbid1 206 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C )  <-> 
B  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867  (class class class)co 6296   omcom 6697    +o coa 7178   N.cnpi 9258    +N cpli 9259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-oadd 7185  df-ni 9286  df-pli 9287
This theorem is referenced by:  adderpqlem  9368
  Copyright terms: Public domain W3C validator