MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcan2d Structured version   Unicode version

Theorem addcan2d 9795
Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
addcomd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
addcand.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addcan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  C )  =  ( B  +  C )  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem addcan2d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 addcomd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 addcand.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 addcan2 9776 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
)  =  ( B  +  C )  <->  A  =  B ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  C )  =  ( B  +  C )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502    + caddc 9507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645
This theorem is referenced by:  addcan2ad  9797  addneintr2d  9799  ccatopth2  12676  frgpnabllem1  16750  colinearalglem1  24032  wlkdvspthlem  24432  wwlknextbi  24548  wlklenvclwlk  24662  fprodser  29008  tan2h  29974
  Copyright terms: Public domain W3C validator