Theorem addasssr 6349

Description: Addition of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasssr.1	|- B e. _V
addasssr.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
addasssr	|- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Proof of Theorem addasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6319	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		addsrpr 6336	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R )
3		addsrpr 6336	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R )
4		addsrpr 6336	. . 3 |- ((((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((x +P. z) +P. v), ((y +P. w) +P. u)>.] ~R )
5		addsrpr 6336	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R ) = [<.(x +P. (z +P. v)), (y +P. (w +P. u))>.] ~R )
6		addclpr 6272	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x +P. z) e. P.)
7		addclpr 6272	. . . . 5 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y +P. w) e. P.)
8	6, 7	anim12i 360	. . . 4 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
9	8	an4s 566	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
10		addclpr 6272	. . . . 5 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z +P. v) e. P.)
11		addclpr 6272	. . . . 5 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w +P. u) e. P.)
12	10, 11	anim12i 360	. . . 4 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
13	12	an4s 566	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
14		visset 2295	. . . 4 |- z e. _V
15		visset 2295	. . . 4 |- v e. _V
16	14, 15	addasspr 6276	. . 3 |- ((x +P. z) +P. v) = (x +P. (z +P. v))
17		visset 2295	. . . 4 |- w e. _V
18		visset 2295	. . . 4 |- u e. _V
19	17, 18	addasspr 6276	. . 3 |- ((y +P. w) +P. u) = (y +P. (w +P. u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 5379	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
21		addasssr.1	. . 3 |- B e. _V
22		dmaddsr 6346	. . 3 |- dom +R = (R. X. R.)
23		addasssr.2	. . 3 |- C e. _V
24		0nsr 6340	. . 3 |- -. (/) e. R.
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 4981	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
26	20, 25	pm2.61i 140	1 |- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Syntax hints:   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (class class class)co 4884  P.cnp 6137   +P. cpp 6139   ~R cer 6144  R.cnr 6145   +R cplr 6149

This theorem is referenced by:  supsrlem2 6378  axaddass 6430  axmulass 6431  axdistr 6432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320

Copyright terms: Public domain