MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspr Structured version   Unicode version

Theorem addasspr 9430
Description: Addition of positive reals is associative. Proposition 9-3.5(i) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 18-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspr  |-  ( ( A  +P.  B )  +P.  C )  =  ( A  +P.  ( B  +P.  C ) )

Proof of Theorem addasspr
Dummy variables  f 
g  h  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 9391 . 2  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  +Q  z ) } )
2 addclnq 9353 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  z
)  e.  Q. )
3 dmplp 9420 . 2  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )
4 addclpr 9426 . 2  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f  +P.  g
)  e.  P. )
5 addassnq 9366 . 2  |-  ( ( f  +Q  g )  +Q  h )  =  ( f  +Q  (
g  +Q  h ) )
61, 2, 3, 4, 5genpass 9417 1  |-  ( ( A  +P.  B )  +P.  C )  =  ( A  +P.  ( B  +P.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405  (class class class)co 6278    +Q cplq 9263    +P. cpp 9269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-ni 9280  df-pli 9281  df-mi 9282  df-lti 9283  df-plpq 9316  df-mpq 9317  df-ltpq 9318  df-enq 9319  df-nq 9320  df-erq 9321  df-plq 9322  df-mq 9323  df-1nq 9324  df-rq 9325  df-ltnq 9326  df-np 9389  df-plp 9391
This theorem is referenced by:  ltaprlem  9452  enrer  9472  addcmpblnr  9476  mulcmpblnrlem  9477  ltsrpr  9484  addasssr  9495  mulasssr  9497  distrsr  9498  m1p1sr  9499  m1m1sr  9500  ltsosr  9501  0idsr  9504  1idsr  9505  ltasr  9507  recexsrlem  9510  mulgt0sr  9512  map2psrpr  9517
  Copyright terms: Public domain W3C validator