MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspr Structured version   Unicode version

Theorem addasspr 9183
Description: Addition of positive reals is associative. Proposition 9-3.5(i) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 18-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspr  |-  ( ( A  +P.  B )  +P.  C )  =  ( A  +P.  ( B  +P.  C ) )

Proof of Theorem addasspr
Dummy variables  f 
g  h  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 9144 . 2  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  +Q  z ) } )
2 addclnq 9106 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  z
)  e.  Q. )
3 dmplp 9173 . 2  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )
4 addclpr 9179 . 2  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f  +P.  g
)  e.  P. )
5 addassnq 9119 . 2  |-  ( ( f  +Q  g )  +Q  h )  =  ( f  +Q  (
g  +Q  h ) )
61, 2, 3, 4, 5genpass 9170 1  |-  ( ( A  +P.  B )  +P.  C )  =  ( A  +P.  ( B  +P.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369  (class class class)co 6086    +Q cplq 9014    +P. cpp 9020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ni 9033  df-pli 9034  df-mi 9035  df-lti 9036  df-plpq 9069  df-mpq 9070  df-ltpq 9071  df-enq 9072  df-nq 9073  df-erq 9074  df-plq 9075  df-mq 9076  df-1nq 9077  df-rq 9078  df-ltnq 9079  df-np 9142  df-plp 9144
This theorem is referenced by:  ltaprlem  9205  enrer  9227  addcmpblnr  9231  mulcmpblnrlem  9232  ltsrpr  9236  addasssr  9247  mulasssr  9249  distrsr  9250  m1p1sr  9251  m1m1sr  9252  ltsosr  9253  0idsr  9256  1idsr  9257  ltasr  9259  recexsrlem  9262  mulgt0sr  9264  map2psrpr  9269
  Copyright terms: Public domain W3C validator