Theorem addasspq 5128

Description: Addition of positive fractions is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasspq.1	|- B e. V
addasspq.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasspq	|- ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Proof of Theorem addasspq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5103	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		addpipq 5119	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
3		addpipq 5119	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q )
4		addpipq 5119	. . 3 |- (((((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)), ((y .N w) .N u)>.] ~Q )
5		addpipq 5119	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q ) = [<.((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v)))), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
6		addclpi 5085	. . . . . 6 |- (((x .N w) e. N. /\ (y .N z) e. N.) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
7		mulclpi 5086	. . . . . 6 |- ((x e. N. /\ w e. N.) -> (x .N w) e. N.)
8		mulclpi 5086	. . . . . 6 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y .N z) e. N.)
9	6, 7, 8	syl2an 465	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ w e. N.) /\ (y e. N. /\ z e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
10	9	an42s 520	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
11		mulclpi 5086	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
12	11	ad2ant2l 417	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (y .N w) e. N.)
13	10, 12	jca 295	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
14		addclpi 5085	. . . . . 6 |- (((z .N u) e. N. /\ (w .N v) e. N.) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
15		mulclpi 5086	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ u e. N.) -> (z .N u) e. N.)
16		mulclpi 5086	. . . . . 6 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
17	14, 15, 16	syl2an 465	. . . . 5 |- (((z e. N. /\ u e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
18	17	an42s 520	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
19		mulclpi 5086	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ u e. N.) -> (w .N u) e. N.)
20	19	ad2ant2l 417	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N u) e. N.)
21	18, 20	jca 295	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
22		oprex 4041	. . . . 5 |- (y .N (z .N u)) e. V
23		oprex 4041	. . . . 5 |- (y .N (w .N v)) e. V
24	22, 23	addasspi 5088	. . . 4 |- (((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u))) +N (y .N (w .N v))) = ((x .N (w .N u)) +N ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v))))
25		visset 1860	. . . . . 6 |- x e. V
26		visset 1860	. . . . . 6 |- y e. V
27		visset 1860	. . . . . 6 |- w e. V
28		visset 1860	. . . . . . 7 |- f e. V
29		visset 1860	. . . . . . 7 |- g e. V
30	28, 29	mulcompi 5089	. . . . . 6 |- (f .N g) = (g .N f)
31		visset 1860	. . . . . . 7 |- h e. V
32	29, 31	distrpi 5091	. . . . . 6 |- (f .N (g +N h)) = ((f .N g) +N (f .N h))
33		visset 1860	. . . . . 6 |- z e. V
34		visset 1860	. . . . . 6 |- u e. V
35	29, 31	mulasspi 5090	. . . . . 6 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
36	25, 26, 27, 30, 32, 33, 34, 35	caoprdilem 4126	. . . . 5 |- (((x .N w) +N (y .N z)) .N u) = ((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u)))
37		visset 1860	. . . . . 6 |- v e. V
38	27, 37	mulasspi 5090	. . . . 5 |- ((y .N w) .N v) = (y .N (w .N v))
39	36, 38	opreq12i 4031	. . . 4 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)) = (((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u))) +N (y .N (w .N v)))
40		oprex 4041	. . . . . 6 |- (z .N u) e. V
41		oprex 4041	. . . . . 6 |- (w .N v) e. V
42	40, 41	distrpi 5091	. . . . 5 |- (y .N ((z .N u) +N (w .N v))) = ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v)))
43	42	opreq2i 4030	. . . 4 |- ((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v)))) = ((x .N (w .N u)) +N ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v))))
44	24, 39, 43	3eqtr4i 1552	. . 3 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)) = ((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v))))
45	27, 34	mulasspi 5090	. . 3 |- ((y .N w) .N u) = (y .N (w .N u))
46	1, 2, 3, 4, 5, 13, 21, 44, 45	ecoprass 4381	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
47		addasspq.1	. . 3 |- B e. V
48		dmaddpq 5124	. . 3 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
49		addasspq.2	. . 3 |- C e. V
50		0npq 5115	. . 3 |- -. (/) e. Q.
51	47, 48, 49, 50	ndmoprass 4106	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
52	46, 51	pm2.61i 132	1 |- ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Syntax hints:   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999  Vcvv 1858  (class class class)co 4021  N.cnpi 5037   +N cpli 5038   .N cmi 5039   ~Q ceq 5043  Q.cnq 5044   +Q cplq 5046

This theorem is referenced by:  ltaddpq 5144  ltbtwnpq 5149  addasspr 5189  prlem934a 5202  ltexprlem7 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-plpq 5100  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104

Copyright terms: Public domain