MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspi Structured version   Unicode version

Theorem addasspi 9276
Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspi  |-  ( ( A  +N  B )  +N  C )  =  ( A  +N  ( B  +N  C ) )

Proof of Theorem addasspi
StepHypRef Expression
1 pinn 9259 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 9259 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 9259 . . . 4  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nnaass 7273 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1271 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
6 addclpi 9273 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )
7 addpiord 9265 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +N  B
)  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +N  C
)  =  ( ( A  +N  B )  +o  C ) )
86, 7sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +N  C )  =  ( ( A  +N  B
)  +o  C ) )
9 addpiord 9265 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
109oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +o  C
)  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +o  C )  =  ( ( A  +o  B
)  +o  C ) )
128, 11eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +N  C )  =  ( ( A  +o  B
)  +o  C ) )
13123impa 1192 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  +N  C )  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
14 addclpi 9273 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  +N  C
)  e.  N. )
15 addpiord 9265 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  +N  C
)  e.  N. )  ->  ( A  +N  ( B  +N  C ) )  =  ( A  +o  ( B  +N  C
) ) )
1614, 15sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  +N  ( B  +N  C
) )  =  ( A  +o  ( B  +N  C ) ) )
17 addpiord 9265 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  +N  C
)  =  ( B  +o  C ) )
1817oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +o  ( B  +N  C ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  +o  ( B  +N  C
) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
2016, 19eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  +N  ( B  +N  C
) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
21203impb 1193 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  ( B  +N  C ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
225, 13, 213eqtr4d 2494 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  +N  C )  =  ( A  +N  ( B  +N  C
) ) )
23 dmaddpi 9271 . . 3  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
24 0npi 9263 . . 3  |-  -.  (/)  e.  N.
2523, 24ndmovass 6448 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +N  C
)  =  ( A  +N  ( B  +N  C ) ) )
2622, 25pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  +N  B )  +N  C )  =  ( A  +N  ( B  +N  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   omcom 6685    +o coa 7129   N.cnpi 9225    +N cpli 9226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-ni 9253  df-pli 9254
This theorem is referenced by:  addassnq  9339
  Copyright terms: Public domain W3C validator