MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspi Structured version   Unicode version

Theorem addasspi 9269
Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspi  |-  ( ( A  +N  B )  +N  C )  =  ( A  +N  ( B  +N  C ) )

Proof of Theorem addasspi
StepHypRef Expression
1 pinn 9252 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 9252 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 9252 . . . 4  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nnaass 7268 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1270 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
6 addclpi 9266 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )
7 addpiord 9258 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +N  B
)  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +N  C
)  =  ( ( A  +N  B )  +o  C ) )
86, 7sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +N  C )  =  ( ( A  +N  B
)  +o  C ) )
9 addpiord 9258 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
109oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +o  C
)  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +o  C )  =  ( ( A  +o  B
)  +o  C ) )
128, 11eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +N  C )  =  ( ( A  +o  B
)  +o  C ) )
13123impa 1191 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  +N  C )  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
14 addclpi 9266 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  +N  C
)  e.  N. )
15 addpiord 9258 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  +N  C
)  e.  N. )  ->  ( A  +N  ( B  +N  C ) )  =  ( A  +o  ( B  +N  C
) ) )
1614, 15sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  +N  ( B  +N  C
) )  =  ( A  +o  ( B  +N  C ) ) )
17 addpiord 9258 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  +N  C
)  =  ( B  +o  C ) )
1817oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +o  ( B  +N  C ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  +o  ( B  +N  C
) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
2016, 19eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  +N  ( B  +N  C
) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
21203impb 1192 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  ( B  +N  C ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
225, 13, 213eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  +N  C )  =  ( A  +N  ( B  +N  C
) ) )
23 dmaddpi 9264 . . 3  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
24 0npi 9256 . . 3  |-  -.  (/)  e.  N.
2523, 24ndmovass 6445 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  +N  C
)  =  ( A  +N  ( B  +N  C ) ) )
2622, 25pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  +N  B )  +N  C )  =  ( A  +N  ( B  +N  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   omcom 6678    +o coa 7124   N.cnpi 9218    +N cpli 9219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-ni 9246  df-pli 9247
This theorem is referenced by:  addassnq  9332
  Copyright terms: Public domain W3C validator