MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  add4d Structured version   Unicode version

Theorem add4d 9838
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
addd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
addd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
addd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
add4d.4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
add4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  D ) )  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  D ) ) )

Proof of Theorem add4d
StepHypRef Expression
1 addd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 addd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 addd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 add4d.4 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5 add4 9829 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  +  ( C  +  D ) )  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  D ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1231 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  +  ( C  +  D ) )  =  ( ( A  +  C )  +  ( B  +  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6277   CCcc 9519    + caddc 9524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662
This theorem is referenced by:  binom3  12329  readd  13106  imadd  13114  bpoly4  14002  efi4p  14079  sadcaddlem  14314  sadadd2lem  14316  4sqlem11  14680  vdwlem6  14711  ovolunlem1a  22197  uniioombllem3  22284  itgadd  22521  itgmulc2  22530  tanarg  23296  binom4  23504  dquart  23507  quart1  23510  axeuclidlem  24669  axcontlem8  24678  vdgrfiun  25306  golem1  27589  archiabllem2c  28177  itgaddnclem2  31427  itgaddnc  31428  itgmulc2nc  31436  dvnmul  37089  stoweidlem13  37144  opoeALTV  37746
  Copyright terms: Public domain W3C validator