Theorem add32d 9580

Description: Commutative/associative law that swaps the last two terms in a triple sum. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
addd.1	|- ( ph -> A e. CC )
addd.2	|- ( ph -> B e. CC )
addd.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
add32d	|- ( ph -> ( ( A + B ) + C ) = ( ( A + C ) + B ) )

Proof of Theorem add32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		addd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		addd.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		add32 9571	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) + C ) = ( ( A + C ) + B ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1211	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) + C ) = ( ( A + C ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1362   e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9268   + caddc 9273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411

This theorem is referenced by:  nppcan  9619  muladd  9765  fladdz  11654  zesq  11971  abstri  12802  iseraltlem3  13145  sadadd2lem  13638  pythagtriplem1  13866  pythagtriplem12  13876  vdwlem2  14026  vdwlem6  14030  vdwlem8  14032  tchcphlem1  20592  uniioombllem5  20909  heron  22118  dcubic1  22125  mulog2sumlem1  22668  chpdifbndlem1  22687  selberg34r  22705  pntlemr  22736  brbtwn2  22974  axpasch  23010  lgamcvg2  26889  subfacval2  26923  cnapbmcpd  30015  clwwisshclwwlem1  30315