Theorem add20i 6782

Description: Two nonnegative numbers are zero iff their sum is zero.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
add20i	|- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 <-> (A = 0 /\ B = 0)))

Proof of Theorem add20i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
2		lt.2	. . . . . . . . 9 |- B e. RR
3	1, 2	readdcli 6487	. . . . . . . 8 |- (A + B) e. RR
4		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
5	3, 4	lttri3i 6748	. . . . . . 7 |- ((A + B) = 0 <-> (-. (A + B) < 0 /\ -. 0 < (A + B)))
6	5	simprbi 353	. . . . . 6 |- ((A + B) = 0 -> -. 0 < (A + B))
7	1, 2	addgt0i 6775	. . . . . 6 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A + B))
8	6, 7	nsyl3 134	. . . . 5 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> -. (A + B) = 0)
9	8	pm2.21d 94	. . . 4 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
10		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> (0 + B) = (A + B))
11	2	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
12	11	addid2i 6484	. . . . . . . 8 |- (0 + B) = B
13	10, 12	syl5eqr 1942	. . . . . . 7 |- (0 = A -> B = (A + B))
14	13	eqeq1d 1892	. . . . . 6 |- (0 = A -> (B = 0 <-> (A + B) = 0))
15	14	biimprd 171	. . . . 5 |- (0 = A -> ((A + B) = 0 -> B = 0))
16		eqcom 1886	. . . . . 6 |- (0 = A <-> A = 0)
17	16	biimpi 168	. . . . 5 |- (0 = A -> A = 0)
18	15, 17	jctild 662	. . . 4 |- (0 = A -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
19		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (0 = B -> (A + 0) = (A + B))
20	1	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- A e. CC
21	20	addid1i 6483	. . . . . . . 8 |- (A + 0) = A
22	19, 21	syl5eqr 1942	. . . . . . 7 |- (0 = B -> A = (A + B))
23	22	eqeq1d 1892	. . . . . 6 |- (0 = B -> (A = 0 <-> (A + B) = 0))
24	23	biimprd 171	. . . . 5 |- (0 = B -> ((A + B) = 0 -> A = 0))
25		eqcom 1886	. . . . . 6 |- (0 = B <-> B = 0)
26	25	biimpi 168	. . . . 5 |- (0 = B -> B = 0)
27	24, 26	jctird 663	. . . 4 |- (0 = B -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
28	9, 18, 27	ccase2 831	. . 3 |- (((0 < A \/ 0 = A) /\ (0 < B \/ 0 = B)) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
29	4, 1	leloei 6750	. . 3 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
30	4, 2	leloei 6750	. . 3 |- (0 <_ B <-> (0 < B \/ 0 = B))
31	28, 29, 30	syl2anb 504	. 2 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
32		opreq1 4889	. . 3 |- (A = 0 -> (A + B) = (0 + B))
33		opreq2 4890	. . . 4 |- (B = 0 -> (0 + B) = (0 + 0))
34		0cn 6481	. . . . 5 |- 0 e. CC
35	34	addid1i 6483	. . . 4 |- (0 + 0) = 0
36	33, 35	syl6eq 1944	. . 3 |- (B = 0 -> (0 + B) = 0)
37	32, 36	sylan9eq 1948	. 2 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + B) = 0)
38	31, 37	impbid1 575	1 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 <-> (A = 0 /\ B = 0)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  abs00i 8093  add20 15777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain