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Theorem acunirnmpt2f 27731
Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
acunirnmpt.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
aciunf1lem.a  |-  F/_ j A
acunirnmpt2f.c  |-  F/_ j C
acunirnmpt2f.d  |-  F/_ j D
acunirnmpt2f.2  |-  C  = 
U_ j  e.  A  B
acunirnmpt2f.3  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
acunirnmpt2f.4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
Assertion
Ref Expression
acunirnmpt2f  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    B, f    C, f, x    f, j, ph, x
Allowed substitution hints:    A( j)    B( x, j)    C( j)    D( x, f, j)    V( x, f, j)    W( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2f
Dummy variables  c 
y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B ) )
2 vex 3109 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
3 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  B )
43elrnmpt 5238 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
)
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
61, 5sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  y  =  B )
7 nfv 1712 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
8 acunirnmpt2f.c . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j C
98nfcri 2609 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  x  e.  C
107, 9nfan 1933 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  C )
11 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
y
12 nfmpt1 4528 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
( j  e.  A  |->  B )
1312nfrn 5234 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j ran  ( j  e.  A  |->  B )
1411, 13nfel 2629 . . . . . . . 8  |-  F/ j  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )
1510, 14nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
16 nfv 1712 . . . . . . 7  |-  F/ j  x  e.  y
1715, 16nfan 1933 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )
18 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  y )
19 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
2018, 19eleqtrd 2544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  B )
2120ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A
)  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B ) )
2221ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( j  e.  A  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B
) ) )
2317, 22reximdai 2923 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. j  e.  A  y  =  B  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
)
246, 23mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
25 acunirnmpt2f.2 . . . . . . . 8  |-  C  = 
U_ j  e.  A  B
26 acunirnmpt2f.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
2726ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  W )
28 dfiun3g 5244 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  A  B  e.  W  ->  U_ j  e.  A  B  =  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  B  =  U. ran  (
j  e.  A  |->  B ) )
3025, 29syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
3130eleq2d 2524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  U. ran  (
j  e.  A  |->  B ) ) )
3231biimpa 482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
33 eluni2 4239 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
3432, 33sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
3524, 34r19.29a 2996 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
3635ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B )
37 acunirnmpt.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
38 aciunf1lem.a . . . . . . 7  |-  F/_ j A
39 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
40 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ k B
41 nfcsb1v 3436 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ k  /  j ]_ B
42 csbeq1a 3429 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  B  =  [_ k  /  j ]_ B )
4338, 39, 40, 41, 42cbvmptf 27718 . . . . . 6  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  [_ k  /  j ]_ B )
44 mptexg 6117 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
k  e.  A  |->  [_ k  /  j ]_ B
)  e.  _V )
4543, 44syl5eqel 2546 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
46 rnexg 6705 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
47 uniexg 6570 . . . . 5  |-  ( ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
4837, 45, 46, 474syl 21 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
4930, 48eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
50 id 22 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  c  =  C )
5150raleqdv 3057 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  <->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B ) )
5250feq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
f : c --> A  <-> 
f : C --> A ) )
5350raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  x  e.  D  <->  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
5452, 53anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
5554exbidv 1719 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  E. f
( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D
) ) )
5651, 55imbi12d 318 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )  <-> 
( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) ) )
57 acunirnmpt2f.d . . . . . 6  |-  F/_ j D
5857nfcri 2609 . . . . 5  |-  F/ j  x  e.  D
59 vex 3109 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
60 acunirnmpt2f.3 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
6160eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  D ) )
6238, 58, 59, 61ac6sf2 27690 . . . 4  |-  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )
6356, 62vtoclg 3164 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
6449, 63syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
6536, 64mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   [_csb 3420   (/)c0 3783   U.cuni 4235   U_ciun 4315    |-> cmpt 4497   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-en 7510  df-r1 8173  df-rank 8174  df-card 8311  df-ac 8488
This theorem is referenced by:  aciunf1lem  27732
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