Theorem acunirnmpt2f 28338

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
aciunf1lem.a	|- F/_ j A
acunirnmpt2f.c	|- F/_ j C
acunirnmpt2f.d	|- F/_ j D
acunirnmpt2f.2	|- C = U_ j e. A B
acunirnmpt2f.3	|- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
acunirnmpt2f.4	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt2f	|- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   B, f   C, f, x   f, j, ph, x

Allowed substitution hints:   A( j)   B( x, j)   C( j)   D( x, f, j)   V( x, f, j)   W( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2f

Dummy variables c y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 770	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> y e. ran ( j e. A |-> B ) )
2		vex 3034	. . . . . . 7 |- y e. _V
3		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B )
4	3	elrnmpt 5087	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B )
6	1, 5	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A y = B )
7		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
8		acunirnmpt2f.c	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j C
9	8	nfcri 2606	. . . . . . . . 9 |- F/ j x e. C
10	7, 9	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ x e. C )
11		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ j y
12		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j ( j e. A |-> B )
13	12	nfrn 5083	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ran ( j e. A |-> B )
14	11, 13	nfel 2624	. . . . . . . 8 |- F/ j y e. ran ( j e. A |-> B )
15	10, 14	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) )
16		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ j x e. y
17	15, 16	nfan 2031	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y )
18		simpllr 777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. y )
19		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
20	18, 19	eleqtrd 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. B )
21	20	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) -> ( y = B -> x e. B ) )
22	21	ex 441	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( j e. A -> ( y = B -> x e. B ) ) )
23	17, 22	reximdai 2853	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A x e. B ) )
24	6, 23	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A x e. B )
25		acunirnmpt2f.2	. . . . . . . 8 |- C = U_ j e. A B
26		acunirnmpt2f.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
27	26	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. W )
28		dfiun3g 5093	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. A B e. W -> U_ j e. A B = U. ran ( j e. A |-> B ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ j e. A B = U. ran ( j e. A |-> B ) )
30	25, 29	syl5eq 2517	. . . . . . 7 |- ( ph -> C = U. ran ( j e. A |-> B ) )
31	30	eleq2d 2534	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. C <-> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) ) )
32	31	biimpa 492	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
33		eluni2 4194	. . . . 5 |- ( x e. U. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
34	32, 33	sylib 201	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
35	24, 34	r19.29a 2918	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. j e. A x e. B )
36	35	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. x e. C E. j e. A x e. B )
37		acunirnmpt.0	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
38		aciunf1lem.a	. . . . . . 7 |- F/_ j A
39		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ k A
40		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ k B
41		nfcsb1v 3365	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ k / j ]_ B
42		csbeq1a 3358	. . . . . . 7 |- ( j = k -> B = [_ k / j ]_ B )
43	38, 39, 40, 41, 42	cbvmptf 4486	. . . . . 6 |- ( j e. A |-> B ) = ( k e. A |-> [_ k / j ]_ B )
44		mptexg 6151	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( k e. A |-> [_ k / j ]_ B ) e. _V )
45	43, 44	syl5eqel 2553	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V )
46		rnexg 6744	. . . . 5 |- ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
47		uniexg 6607	. . . . 5 |- ( ran ( j e. A |-> B ) e. _V -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
48	37, 45, 46, 47	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
49	30, 48	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
50		id 22	. . . . . 6 |- ( c = C -> c = C )
51	50	raleqdv 2979	. . . . 5 |- ( c = C -> ( A. x e. c E. j e. A x e. B <-> A. x e. C E. j e. A x e. B ) )
52	50	feq2d 5725	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( f : c --> A <-> f : C --> A ) )
53	50	raleqdv 2979	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( A. x e. c x e. D <-> A. x e. C x e. D ) )
54	52, 53	anbi12d 725	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
55	54	exbidv 1776	. . . . 5 |- ( c = C -> ( E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
56	51, 55	imbi12d 327	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) ) <-> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) )
57		acunirnmpt2f.d	. . . . . 6 |- F/_ j D
58	57	nfcri 2606	. . . . 5 |- F/ j x e. D
59		vex 3034	. . . . 5 |- c e. _V
60		acunirnmpt2f.3	. . . . . 6 |- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
61	60	eleq2d 2534	. . . . 5 |- ( j = ( f ` x ) -> ( x e. B <-> x e. D ) )
62	38, 58, 59, 61	ac6sf2 28302	. . . 4 |- ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) )
63	56, 62	vtoclg 3093	. . 3 |- ( C e. _V -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
64	49, 63	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
65	36, 64	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349   (/)c0 3722   U.cuni 4190   U_ciun 4269   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-en 7588  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-ac 8565

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