Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acunirnmpt2f Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem acunirnmpt2f 28338
 Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0
acunirnmpt.1
aciunf1lem.a
acunirnmpt2f.c
acunirnmpt2f.d
acunirnmpt2f.2
acunirnmpt2f.3
acunirnmpt2f.4
Assertion
Ref Expression
acunirnmpt2f
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem acunirnmpt2f
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 770 . . . . . 6
2 vex 3034 . . . . . . 7
3 eqid 2471 . . . . . . . 8
43elrnmpt 5087 . . . . . . 7
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6
61, 5sylib 201 . . . . 5
7 nfv 1769 . . . . . . . . 9
8 acunirnmpt2f.c . . . . . . . . . 10
98nfcri 2606 . . . . . . . . 9
107, 9nfan 2031 . . . . . . . 8
11 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
12 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10
1312nfrn 5083 . . . . . . . . 9
1411, 13nfel 2624 . . . . . . . 8
1510, 14nfan 2031 . . . . . . 7
16 nfv 1769 . . . . . . 7
1715, 16nfan 2031 . . . . . 6
18 simpllr 777 . . . . . . . . 9
19 simpr 468 . . . . . . . . 9
2018, 19eleqtrd 2551 . . . . . . . 8
2120ex 441 . . . . . . 7
2221ex 441 . . . . . 6
2317, 22reximdai 2853 . . . . 5
246, 23mpd 15 . . . 4
25 acunirnmpt2f.2 . . . . . . . 8
26 acunirnmpt2f.4 . . . . . . . . . 10
2726ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
28 dfiun3g 5093 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8
3025, 29syl5eq 2517 . . . . . . 7
3130eleq2d 2534 . . . . . 6
3231biimpa 492 . . . . 5
33 eluni2 4194 . . . . 5
3432, 33sylib 201 . . . 4
3524, 34r19.29a 2918 . . 3
3635ralrimiva 2809 . 2
37 acunirnmpt.0 . . . . 5
38 aciunf1lem.a . . . . . . 7
39 nfcv 2612 . . . . . . 7
40 nfcv 2612 . . . . . . 7
41 nfcsb1v 3365 . . . . . . 7
42 csbeq1a 3358 . . . . . . 7
4338, 39, 40, 41, 42cbvmptf 4486 . . . . . 6
44 mptexg 6151 . . . . . 6
4543, 44syl5eqel 2553 . . . . 5
46 rnexg 6744 . . . . 5
47 uniexg 6607 . . . . 5
4837, 45, 46, 474syl 19 . . . 4
4930, 48eqeltrd 2549 . . 3
50 id 22 . . . . . 6
5150raleqdv 2979 . . . . 5
5250feq2d 5725 . . . . . . 7
5350raleqdv 2979 . . . . . . 7
5452, 53anbi12d 725 . . . . . 6
5554exbidv 1776 . . . . 5
5651, 55imbi12d 327 . . . 4
57 acunirnmpt2f.d . . . . . 6
5857nfcri 2606 . . . . 5
59 vex 3034 . . . . 5
60 acunirnmpt2f.3 . . . . . 6
6160eleq2d 2534 . . . . 5
6238, 58, 59, 61ac6sf2 28302 . . . 4
6356, 62vtoclg 3093 . . 3
6449, 63syl 17 . 2
6536, 64mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wnfc 2599   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031  csb 3349  c0 3722  cuni 4190  ciun 4269   cmpt 4454   crn 4840  wf 5585  cfv 5589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-en 7588  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-ac 8565 This theorem is referenced by:  aciunf1lem  28339
 Copyright terms: Public domain W3C validator