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Theorem acunirnmpt2f 28250
Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
acunirnmpt.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
aciunf1lem.a  |-  F/_ j A
acunirnmpt2f.c  |-  F/_ j C
acunirnmpt2f.d  |-  F/_ j D
acunirnmpt2f.2  |-  C  = 
U_ j  e.  A  B
acunirnmpt2f.3  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
acunirnmpt2f.4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
Assertion
Ref Expression
acunirnmpt2f  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    B, f    C, f, x    f, j, ph, x
Allowed substitution hints:    A( j)    B( x, j)    C( j)    D( x, f, j)    V( x, f, j)    W( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2f
Dummy variables  c 
y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B ) )
2 vex 3084 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
3 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  B )
43elrnmpt 5096 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
)
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
61, 5sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  y  =  B )
7 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
8 acunirnmpt2f.c . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j C
98nfcri 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  x  e.  C
107, 9nfan 1984 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  C )
11 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
y
12 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
( j  e.  A  |->  B )
1312nfrn 5092 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j ran  ( j  e.  A  |->  B )
1411, 13nfel 2597 . . . . . . . 8  |-  F/ j  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )
1510, 14nfan 1984 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
16 nfv 1751 . . . . . . 7  |-  F/ j  x  e.  y
1715, 16nfan 1984 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )
18 simpllr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  y )
19 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
2018, 19eleqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  B )
2120ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A
)  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B ) )
2221ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( j  e.  A  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B
) ) )
2317, 22reximdai 2894 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. j  e.  A  y  =  B  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
)
246, 23mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
25 acunirnmpt2f.2 . . . . . . . 8  |-  C  = 
U_ j  e.  A  B
26 acunirnmpt2f.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
2726ralrimiva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  W )
28 dfiun3g 5102 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  A  B  e.  W  ->  U_ j  e.  A  B  =  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  B  =  U. ran  (
j  e.  A  |->  B ) )
3025, 29syl5eq 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
3130eleq2d 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  U. ran  (
j  e.  A  |->  B ) ) )
3231biimpa 486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
33 eluni2 4220 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
3432, 33sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
3524, 34r19.29a 2970 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
3635ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B )
37 acunirnmpt.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
38 aciunf1lem.a . . . . . . 7  |-  F/_ j A
39 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
40 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ k B
41 nfcsb1v 3411 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ k  /  j ]_ B
42 csbeq1a 3404 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  B  =  [_ k  /  j ]_ B )
4338, 39, 40, 41, 42cbvmptf 4511 . . . . . 6  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  [_ k  /  j ]_ B )
44 mptexg 6146 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
k  e.  A  |->  [_ k  /  j ]_ B
)  e.  _V )
4543, 44syl5eqel 2514 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
46 rnexg 6735 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
47 uniexg 6598 . . . . 5  |-  ( ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
4837, 45, 46, 474syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
4930, 48eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
50 id 23 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  c  =  C )
5150raleqdv 3031 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  <->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B ) )
5250feq2d 5729 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
f : c --> A  <-> 
f : C --> A ) )
5350raleqdv 3031 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  x  e.  D  <->  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
5452, 53anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
5554exbidv 1758 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  E. f
( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D
) ) )
5651, 55imbi12d 321 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )  <-> 
( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) ) )
57 acunirnmpt2f.d . . . . . 6  |-  F/_ j D
5857nfcri 2577 . . . . 5  |-  F/ j  x  e.  D
59 vex 3084 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
60 acunirnmpt2f.3 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
6160eleq2d 2492 . . . . 5  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  D ) )
6238, 58, 59, 61ac6sf2 28213 . . . 4  |-  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )
6356, 62vtoclg 3139 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
6449, 63syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
6536, 64mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   F/_wnfc 2570    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   [_csb 3395   (/)c0 3761   U.cuni 4216   U_ciun 4296    |-> cmpt 4479   ran crn 4850   -->wf 5593   ` cfv 5597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-reg 8109  ax-inf2 8148  ax-ac2 8893
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-en 7574  df-r1 8236  df-rank 8237  df-card 8374  df-ac 8547
This theorem is referenced by:  aciunf1lem  28251
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