Theorem acunirnmpt2f 28263

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
aciunf1lem.a	|- F/_ j A
acunirnmpt2f.c	|- F/_ j C
acunirnmpt2f.d	|- F/_ j D
acunirnmpt2f.2	|- C = U_ j e. A B
acunirnmpt2f.3	|- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
acunirnmpt2f.4	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt2f	|- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   B, f   C, f, x   f, j, ph, x

Allowed substitution hints:   A( j)   B( x, j)   C( j)   D( x, f, j)   V( x, f, j)   W( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2f

Dummy variables c y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> y e. ran ( j e. A |-> B ) )
2		vex 3048	. . . . . . 7 |- y e. _V
3		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B )
4	3	elrnmpt 5081	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B )
6	1, 5	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A y = B )
7		nfv 1761	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
8		acunirnmpt2f.c	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j C
9	8	nfcri 2586	. . . . . . . . 9 |- F/ j x e. C
10	7, 9	nfan 2011	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ x e. C )
11		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ j y
12		nfmpt1 4492	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j ( j e. A |-> B )
13	12	nfrn 5077	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ran ( j e. A |-> B )
14	11, 13	nfel 2604	. . . . . . . 8 |- F/ j y e. ran ( j e. A |-> B )
15	10, 14	nfan 2011	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) )
16		nfv 1761	. . . . . . 7 |- F/ j x e. y
17	15, 16	nfan 2011	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y )
18		simpllr 769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. y )
19		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
20	18, 19	eleqtrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. B )
21	20	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) -> ( y = B -> x e. B ) )
22	21	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( j e. A -> ( y = B -> x e. B ) ) )
23	17, 22	reximdai 2856	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A x e. B ) )
24	6, 23	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A x e. B )
25		acunirnmpt2f.2	. . . . . . . 8 |- C = U_ j e. A B
26		acunirnmpt2f.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
27	26	ralrimiva 2802	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. W )
28		dfiun3g 5087	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. A B e. W -> U_ j e. A B = U. ran ( j e. A |-> B ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ j e. A B = U. ran ( j e. A |-> B ) )
30	25, 29	syl5eq 2497	. . . . . . 7 |- ( ph -> C = U. ran ( j e. A |-> B ) )
31	30	eleq2d 2514	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. C <-> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) ) )
32	31	biimpa 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
33		eluni2 4202	. . . . 5 |- ( x e. U. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
34	32, 33	sylib 200	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
35	24, 34	r19.29a 2932	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. j e. A x e. B )
36	35	ralrimiva 2802	. 2 |- ( ph -> A. x e. C E. j e. A x e. B )
37		acunirnmpt.0	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
38		aciunf1lem.a	. . . . . . 7 |- F/_ j A
39		nfcv 2592	. . . . . . 7 |- F/_ k A
40		nfcv 2592	. . . . . . 7 |- F/_ k B
41		nfcsb1v 3379	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ k / j ]_ B
42		csbeq1a 3372	. . . . . . 7 |- ( j = k -> B = [_ k / j ]_ B )
43	38, 39, 40, 41, 42	cbvmptf 4493	. . . . . 6 |- ( j e. A |-> B ) = ( k e. A |-> [_ k / j ]_ B )
44		mptexg 6135	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( k e. A |-> [_ k / j ]_ B ) e. _V )
45	43, 44	syl5eqel 2533	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V )
46		rnexg 6725	. . . . 5 |- ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
47		uniexg 6588	. . . . 5 |- ( ran ( j e. A |-> B ) e. _V -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
48	37, 45, 46, 47	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
49	30, 48	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
50		id 22	. . . . . 6 |- ( c = C -> c = C )
51	50	raleqdv 2993	. . . . 5 |- ( c = C -> ( A. x e. c E. j e. A x e. B <-> A. x e. C E. j e. A x e. B ) )
52	50	feq2d 5715	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( f : c --> A <-> f : C --> A ) )
53	50	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( A. x e. c x e. D <-> A. x e. C x e. D ) )
54	52, 53	anbi12d 717	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
55	54	exbidv 1768	. . . . 5 |- ( c = C -> ( E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
56	51, 55	imbi12d 322	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) ) <-> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) )
57		acunirnmpt2f.d	. . . . . 6 |- F/_ j D
58	57	nfcri 2586	. . . . 5 |- F/ j x e. D
59		vex 3048	. . . . 5 |- c e. _V
60		acunirnmpt2f.3	. . . . . 6 |- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
61	60	eleq2d 2514	. . . . 5 |- ( j = ( f ` x ) -> ( x e. B <-> x e. D ) )
62	38, 58, 59, 61	ac6sf2 28226	. . . 4 |- ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) )
63	56, 62	vtoclg 3107	. . 3 |- ( C e. _V -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
64	49, 63	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
65	36, 64	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [_csb 3363   (/)c0 3731   U.cuni 4198   U_ciun 4278   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-en 7570  df-r1 8235  df-rank 8236  df-card 8373  df-ac 8547

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