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Theorem acunirnmpt2f 28338
Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
acunirnmpt.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
aciunf1lem.a  |-  F/_ j A
acunirnmpt2f.c  |-  F/_ j C
acunirnmpt2f.d  |-  F/_ j D
acunirnmpt2f.2  |-  C  = 
U_ j  e.  A  B
acunirnmpt2f.3  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
acunirnmpt2f.4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
Assertion
Ref Expression
acunirnmpt2f  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    B, f    C, f, x    f, j, ph, x
Allowed substitution hints:    A( j)    B( x, j)    C( j)    D( x, f, j)    V( x, f, j)    W( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2f
Dummy variables  c 
y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B ) )
2 vex 3034 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
3 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  B )
43elrnmpt 5087 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
)
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
61, 5sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  y  =  B )
7 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
8 acunirnmpt2f.c . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j C
98nfcri 2606 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  x  e.  C
107, 9nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  C )
11 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
y
12 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
( j  e.  A  |->  B )
1312nfrn 5083 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j ran  ( j  e.  A  |->  B )
1411, 13nfel 2624 . . . . . . . 8  |-  F/ j  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )
1510, 14nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
16 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ j  x  e.  y
1715, 16nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )
18 simpllr 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  y )
19 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
2018, 19eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  B )
2120ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A
)  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B ) )
2221ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( j  e.  A  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B
) ) )
2317, 22reximdai 2853 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. j  e.  A  y  =  B  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
)
246, 23mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
25 acunirnmpt2f.2 . . . . . . . 8  |-  C  = 
U_ j  e.  A  B
26 acunirnmpt2f.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
2726ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  W )
28 dfiun3g 5093 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  A  B  e.  W  ->  U_ j  e.  A  B  =  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  B  =  U. ran  (
j  e.  A  |->  B ) )
3025, 29syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
3130eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  U. ran  (
j  e.  A  |->  B ) ) )
3231biimpa 492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
33 eluni2 4194 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
3432, 33sylib 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
3524, 34r19.29a 2918 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
3635ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B )
37 acunirnmpt.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
38 aciunf1lem.a . . . . . . 7  |-  F/_ j A
39 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
40 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ k B
41 nfcsb1v 3365 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ k  /  j ]_ B
42 csbeq1a 3358 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  B  =  [_ k  /  j ]_ B )
4338, 39, 40, 41, 42cbvmptf 4486 . . . . . 6  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  [_ k  /  j ]_ B )
44 mptexg 6151 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
k  e.  A  |->  [_ k  /  j ]_ B
)  e.  _V )
4543, 44syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
46 rnexg 6744 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
47 uniexg 6607 . . . . 5  |-  ( ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
4837, 45, 46, 474syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
4930, 48eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
50 id 22 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  c  =  C )
5150raleqdv 2979 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  <->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B ) )
5250feq2d 5725 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
f : c --> A  <-> 
f : C --> A ) )
5350raleqdv 2979 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  x  e.  D  <->  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
5452, 53anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
5554exbidv 1776 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  E. f
( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D
) ) )
5651, 55imbi12d 327 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )  <-> 
( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) ) )
57 acunirnmpt2f.d . . . . . 6  |-  F/_ j D
5857nfcri 2606 . . . . 5  |-  F/ j  x  e.  D
59 vex 3034 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
60 acunirnmpt2f.3 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
6160eleq2d 2534 . . . . 5  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  D ) )
6238, 58, 59, 61ac6sf2 28302 . . . 4  |-  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )
6356, 62vtoclg 3093 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
6449, 63syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
6536, 64mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349   (/)c0 3722   U.cuni 4190   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-en 7588  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-ac 8565
This theorem is referenced by:  aciunf1lem  28339
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