Theorem acunirnmpt2f 27731

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
aciunf1lem.a	|- F/_ j A
acunirnmpt2f.c	|- F/_ j C
acunirnmpt2f.d	|- F/_ j D
acunirnmpt2f.2	|- C = U_ j e. A B
acunirnmpt2f.3	|- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
acunirnmpt2f.4	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt2f	|- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   B, f   C, f, x   f, j, ph, x

Allowed substitution hints:   A( j)   B( x, j)   C( j)   D( x, f, j)   V( x, f, j)   W( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2f

Dummy variables c y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 753	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> y e. ran ( j e. A |-> B ) )
2		vex 3109	. . . . . . 7 |- y e. _V
3		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B )
4	3	elrnmpt 5238	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B )
6	1, 5	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A y = B )
7		nfv 1712	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
8		acunirnmpt2f.c	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j C
9	8	nfcri 2609	. . . . . . . . 9 |- F/ j x e. C
10	7, 9	nfan 1933	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ x e. C )
11		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ j y
12		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j ( j e. A |-> B )
13	12	nfrn 5234	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ran ( j e. A |-> B )
14	11, 13	nfel 2629	. . . . . . . 8 |- F/ j y e. ran ( j e. A |-> B )
15	10, 14	nfan 1933	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) )
16		nfv 1712	. . . . . . 7 |- F/ j x e. y
17	15, 16	nfan 1933	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y )
18		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. y )
19		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
20	18, 19	eleqtrd 2544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. B )
21	20	ex 432	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) -> ( y = B -> x e. B ) )
22	21	ex 432	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( j e. A -> ( y = B -> x e. B ) ) )
23	17, 22	reximdai 2923	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A x e. B ) )
24	6, 23	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A x e. B )
25		acunirnmpt2f.2	. . . . . . . 8 |- C = U_ j e. A B
26		acunirnmpt2f.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
27	26	ralrimiva 2868	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. W )
28		dfiun3g 5244	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. A B e. W -> U_ j e. A B = U. ran ( j e. A |-> B ) )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ j e. A B = U. ran ( j e. A |-> B ) )
30	25, 29	syl5eq 2507	. . . . . . 7 |- ( ph -> C = U. ran ( j e. A |-> B ) )
31	30	eleq2d 2524	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. C <-> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) ) )
32	31	biimpa 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
33		eluni2 4239	. . . . 5 |- ( x e. U. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
34	32, 33	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
35	24, 34	r19.29a 2996	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. j e. A x e. B )
36	35	ralrimiva 2868	. 2 |- ( ph -> A. x e. C E. j e. A x e. B )
37		acunirnmpt.0	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
38		aciunf1lem.a	. . . . . . 7 |- F/_ j A
39		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ k A
40		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ k B
41		nfcsb1v 3436	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ k / j ]_ B
42		csbeq1a 3429	. . . . . . 7 |- ( j = k -> B = [_ k / j ]_ B )
43	38, 39, 40, 41, 42	cbvmptf 27718	. . . . . 6 |- ( j e. A |-> B ) = ( k e. A |-> [_ k / j ]_ B )
44		mptexg 6117	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( k e. A |-> [_ k / j ]_ B ) e. _V )
45	43, 44	syl5eqel 2546	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V )
46		rnexg 6705	. . . . 5 |- ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
47		uniexg 6570	. . . . 5 |- ( ran ( j e. A |-> B ) e. _V -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
48	37, 45, 46, 47	4syl 21	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
49	30, 48	eqeltrd 2542	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
50		id 22	. . . . . 6 |- ( c = C -> c = C )
51	50	raleqdv 3057	. . . . 5 |- ( c = C -> ( A. x e. c E. j e. A x e. B <-> A. x e. C E. j e. A x e. B ) )
52	50	feq2d 5700	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( f : c --> A <-> f : C --> A ) )
53	50	raleqdv 3057	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( A. x e. c x e. D <-> A. x e. C x e. D ) )
54	52, 53	anbi12d 708	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
55	54	exbidv 1719	. . . . 5 |- ( c = C -> ( E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
56	51, 55	imbi12d 318	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) ) <-> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) )
57		acunirnmpt2f.d	. . . . . 6 |- F/_ j D
58	57	nfcri 2609	. . . . 5 |- F/ j x e. D
59		vex 3109	. . . . 5 |- c e. _V
60		acunirnmpt2f.3	. . . . . 6 |- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
61	60	eleq2d 2524	. . . . 5 |- ( j = ( f ` x ) -> ( x e. B <-> x e. D ) )
62	38, 58, 59, 61	ac6sf2 27690	. . . 4 |- ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) )
63	56, 62	vtoclg 3164	. . 3 |- ( C e. _V -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
64	49, 63	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
65	36, 64	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   [_csb 3420   (/)c0 3783   U.cuni 4235   U_ciun 4315   |-> cmpt 4497   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-en 7510  df-r1 8173  df-rank 8174  df-card 8311  df-ac 8488

This theorem is referenced by:  aciunf1lem  27732