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Theorem acunirnmpt2 28252
Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
acunirnmpt.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
acunirnmpt2.2  |-  C  = 
U. ran  ( j  e.  A  |->  B )
acunirnmpt2.3  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
Assertion
Ref Expression
acunirnmpt2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Distinct variable groups:    f, j, x, A    B, f    C, f, j, x    D, j    ph, f, j, x
Allowed substitution hints:    B( x, j)    D( x, f)    V( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B ) )
2 vex 3084 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
3 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  B )
43elrnmpt 5097 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
)
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
61, 5sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  y  =  B )
7 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  C )
8 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
y
9 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
( j  e.  A  |->  B )
109nfrn 5093 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j ran  ( j  e.  A  |->  B )
118, 10nfel 2597 . . . . . . . 8  |-  F/ j  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )
127, 11nfan 1984 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
13 nfv 1751 . . . . . . 7  |-  F/ j  x  e.  y
1412, 13nfan 1984 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )
15 simpllr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  y )
16 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
1715, 16eleqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  B )
1817ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A
)  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B ) )
1918ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( j  e.  A  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B
) ) )
2014, 19reximdai 2894 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. j  e.  A  y  =  B  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
)
216, 20mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
22 acunirnmpt2.2 . . . . . . . 8  |-  C  = 
U. ran  ( j  e.  A  |->  B )
2322eleq2i 2500 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  <->  x  e.  U.
ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
2423biimpi 197 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
25 eluni2 4220 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
2624, 25sylib 199 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
2726adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
2821, 27r19.29a 2970 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
2928ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B )
30 acunirnmpt.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
31 mptexg 6147 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
32 rnexg 6736 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
33 uniexg 6599 . . . . 5  |-  ( ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
3522, 34syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
36 id 23 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  c  =  C )
3736raleqdv 3031 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  <->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B ) )
3836feq2d 5730 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
f : c --> A  <-> 
f : C --> A ) )
3936raleqdv 3031 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  x  e.  D  <->  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
4038, 39anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
4140exbidv 1758 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  E. f
( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D
) ) )
4237, 41imbi12d 321 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )  <-> 
( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) ) )
43 vex 3084 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
44 acunirnmpt2.3 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
4544eleq2d 2492 . . . . 5  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  D ) )
4643, 45ac6s 8915 . . . 4  |-  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )
4742, 46vtoclg 3139 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
4835, 47syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
4929, 48mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479   ran crn 4851   -->wf 5594   ` cfv 5598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-reg 8110  ax-inf2 8149  ax-ac2 8894
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-en 7575  df-r1 8237  df-rank 8238  df-card 8375  df-ac 8548
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