Theorem acunirnmpt2 28252

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
acunirnmpt2.2	|- C = U. ran ( j e. A |-> B )
acunirnmpt2.3	|- ( j = ( f ` x ) -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt2	|- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Distinct variable groups:   f, j, x, A   B, f   C, f, j, x   D, j   ph, f, j, x

Allowed substitution hints:   B( x, j)   D( x, f)   V( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2

Dummy variables c y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 760	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> y e. ran ( j e. A |-> B ) )
2		vex 3084	. . . . . . 7 |- y e. _V
3		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B )
4	3	elrnmpt 5097	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B )
6	1, 5	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A y = B )
7		nfv 1751	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ x e. C )
8		nfcv 2584	. . . . . . . . 9 |- F/_ j y
9		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j ( j e. A |-> B )
10	9	nfrn 5093	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ran ( j e. A |-> B )
11	8, 10	nfel 2597	. . . . . . . 8 |- F/ j y e. ran ( j e. A |-> B )
12	7, 11	nfan 1984	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) )
13		nfv 1751	. . . . . . 7 |- F/ j x e. y
14	12, 13	nfan 1984	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y )
15		simpllr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. y )
16		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
17	15, 16	eleqtrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. B )
18	17	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) -> ( y = B -> x e. B ) )
19	18	ex 435	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( j e. A -> ( y = B -> x e. B ) ) )
20	14, 19	reximdai 2894	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A x e. B ) )
21	6, 20	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A x e. B )
22		acunirnmpt2.2	. . . . . . . 8 |- C = U. ran ( j e. A |-> B )
23	22	eleq2i 2500	. . . . . . 7 |- ( x e. C <-> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
24	23	biimpi 197	. . . . . 6 |- ( x e. C -> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
25		eluni2 4220	. . . . . 6 |- ( x e. U. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
26	24, 25	sylib 199	. . . . 5 |- ( x e. C -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
27	26	adantl 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
28	21, 27	r19.29a 2970	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. j e. A x e. B )
29	28	ralrimiva 2839	. 2 |- ( ph -> A. x e. C E. j e. A x e. B )
30		acunirnmpt.0	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
31		mptexg 6147	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V )
32		rnexg 6736	. . . . 5 |- ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
33		uniexg 6599	. . . . 5 |- ( ran ( j e. A |-> B ) e. _V -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
34	30, 31, 32, 33	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
35	22, 34	syl5eqel 2514	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
36		id 23	. . . . . 6 |- ( c = C -> c = C )
37	36	raleqdv 3031	. . . . 5 |- ( c = C -> ( A. x e. c E. j e. A x e. B <-> A. x e. C E. j e. A x e. B ) )
38	36	feq2d 5730	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( f : c --> A <-> f : C --> A ) )
39	36	raleqdv 3031	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( A. x e. c x e. D <-> A. x e. C x e. D ) )
40	38, 39	anbi12d 715	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
41	40	exbidv 1758	. . . . 5 |- ( c = C -> ( E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
42	37, 41	imbi12d 321	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) ) <-> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) )
43		vex 3084	. . . . 5 |- c e. _V
44		acunirnmpt2.3	. . . . . 6 |- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
45	44	eleq2d 2492	. . . . 5 |- ( j = ( f ` x ) -> ( x e. B <-> x e. D ) )
46	43, 45	ac6s 8915	. . . 4 |- ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) )
47	42, 46	vtoclg 3139	. . 3 |- ( C e. _V -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
48	35, 47	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
49	29, 48	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   U.cuni 4216   |-> cmpt 4479   ran crn 4851   -->wf 5594   ` cfv 5598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-reg 8110  ax-inf2 8149  ax-ac2 8894

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-en 7575  df-r1 8237  df-rank 8238  df-card 8375  df-ac 8548

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