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Theorem acunirnmpt2 28262
Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
acunirnmpt.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
acunirnmpt2.2  |-  C  = 
U. ran  ( j  e.  A  |->  B )
acunirnmpt2.3  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
Assertion
Ref Expression
acunirnmpt2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Distinct variable groups:    f, j, x, A    B, f    C, f, j, x    D, j    ph, f, j, x
Allowed substitution hints:    B( x, j)    D( x, f)    V( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B ) )
2 vex 3048 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
3 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  B )
43elrnmpt 5081 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
)
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
61, 5sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  y  =  B )
7 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  C )
8 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
y
9 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
( j  e.  A  |->  B )
109nfrn 5077 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j ran  ( j  e.  A  |->  B )
118, 10nfel 2604 . . . . . . . 8  |-  F/ j  y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )
127, 11nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
13 nfv 1761 . . . . . . 7  |-  F/ j  x  e.  y
1412, 13nfan 2011 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )
15 simpllr 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  y )
16 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
1715, 16eleqtrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  B )
1817ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  /\  j  e.  A
)  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B ) )
1918ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( j  e.  A  ->  ( y  =  B  ->  x  e.  B
) ) )
2014, 19reximdai 2856 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. j  e.  A  y  =  B  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
)
216, 20mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )  /\  x  e.  y )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
22 acunirnmpt2.2 . . . . . . . 8  |-  C  = 
U. ran  ( j  e.  A  |->  B )
2322eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  <->  x  e.  U.
ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
2423biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  U. ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
25 eluni2 4202 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
2624, 25sylib 200 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
2726adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) x  e.  y )
2821, 27r19.29a 2932 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
2928ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B )
30 acunirnmpt.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
31 mptexg 6135 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
32 rnexg 6725 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
33 uniexg 6588 . . . . 5  |-  ( ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
3522, 34syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
36 id 22 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  c  =  C )
3736raleqdv 2993 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  <->  A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B ) )
3836feq2d 5715 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
f : c --> A  <-> 
f : C --> A ) )
3936raleqdv 2993 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  c  x  e.  D  <->  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
4038, 39anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
4140exbidv 1768 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D )  <->  E. f
( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D
) ) )
4237, 41imbi12d 322 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )  <-> 
( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) ) )
43 vex 3048 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
44 acunirnmpt2.3 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  B  =  D )
4544eleq2d 2514 . . . . 5  |-  ( j  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  D ) )
4643, 45ac6s 8914 . . . 4  |-  ( A. x  e.  c  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f
( f : c --> A  /\  A. x  e.  c  x  e.  D ) )
4742, 46vtoclg 3107 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
4835, 47syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  C  E. j  e.  A  x  e.  B  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) ) )
4929, 48mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> A  /\  A. x  e.  C  x  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   U.cuni 4198    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-en 7570  df-r1 8235  df-rank 8236  df-card 8373  df-ac 8547
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