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Theorem acunirnmpt 27645
Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
acunirnmpt.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
acunirnmpt.2  |-  C  =  ran  ( j  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
acunirnmpt  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  E. j  e.  A  ( f `  y
)  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, j    f, j, y, C    ph, f,
j, y
Allowed substitution hints:    A( y, f)    B( y, f, j)    V( y, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  j  e.  A
)  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
2 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  j  e.  A
)  /\  y  =  B )  ->  ph )
3 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  j  e.  A
)  /\  y  =  B )  ->  j  e.  A )
4 acunirnmpt.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
52, 3, 4syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  j  e.  A
)  /\  y  =  B )  ->  B  =/=  (/) )
61, 5eqnetrd 2675 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  j  e.  A
)  /\  y  =  B )  ->  y  =/=  (/) )
7 acunirnmpt.2 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ran  ( j  e.  A  |->  B )
87eleq2i 2460 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  C  <->  y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B ) )
9 vex 3037 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
10 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  B )
1110elrnmpt 5162 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
)
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  ( j  e.  A  |->  B )  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
138, 12bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  C  <->  E. j  e.  A  y  =  B )
1413biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( y  e.  C  ->  E. j  e.  A  y  =  B )
1514adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  E. j  e.  A  y  =  B )
166, 15r19.29a 2924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  y  =/=  (/) )
1716ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  C  y  =/=  (/) )
18 acunirnmpt.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
19 mptexg 6043 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
20 rnexg 6631 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( j  e.  A  |->  B )  e.  _V )
2118, 19, 203syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( j  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
227, 21syl5eqel 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
23 raleq 2979 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( A. y  e.  c 
y  =/=  (/)  <->  A. y  e.  C  y  =/=  (/) ) )
24 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  c  =  C )
25 unieq 4171 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  U. c  =  U. C )
2624, 25feq23d 5634 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
f : c --> U. c  <->  f : C --> U. C ) )
27 raleq 2979 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  ( A. y  e.  c 
( f `  y
)  e.  y  <->  A. y  e.  C  ( f `  y )  e.  y ) )
2826, 27anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( f : c --> U. c  /\  A. y  e.  c  (
f `  y )  e.  y )  <->  ( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  (
f `  y )  e.  y ) ) )
2928exbidv 1722 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( E. f ( f : c --> U. c  /\  A. y  e.  c  (
f `  y )  e.  y )  <->  E. f
( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  ( f `  y )  e.  y ) ) )
3023, 29imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. y  e.  c  y  =/=  (/)  ->  E. f
( f : c --> U. c  /\  A. y  e.  c  (
f `  y )  e.  y ) )  <->  ( A. y  e.  C  y  =/=  (/)  ->  E. f
( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  ( f `  y )  e.  y ) ) ) )
31 vex 3037 . . . . . 6  |-  c  e. 
_V
3231ac5b 8771 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  c  y  =/=  (/)  ->  E. f
( f : c --> U. c  /\  A. y  e.  c  (
f `  y )  e.  y ) )
3330, 32vtoclg 3092 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  ->  ( A. y  e.  C  y  =/=  (/)  ->  E. f
( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  ( f `  y )  e.  y ) ) )
3422, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  C  y  =/=  (/)  ->  E. f
( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  ( f `  y )  e.  y ) ) )
3517, 34mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  ( f `  y
)  e.  y ) )
3615adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  (
f `  y )  e.  y )  ->  E. j  e.  A  y  =  B )
37 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  ( f `  y )  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  (
f `  y )  e.  y )
38 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  ( f `  y )  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
3937, 38eleqtrd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  ( f `  y )  e.  y )  /\  j  e.  A )  /\  y  =  B )  ->  (
f `  y )  e.  B )
4039ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  ( f `  y
)  e.  y )  /\  j  e.  A
)  ->  ( y  =  B  ->  ( f `
 y )  e.  B ) )
4140reximdva 2857 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  (
f `  y )  e.  y )  ->  ( E. j  e.  A  y  =  B  ->  E. j  e.  A  ( f `  y )  e.  B ) )
4236, 41mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  (
f `  y )  e.  y )  ->  E. j  e.  A  ( f `  y )  e.  B
)
4342ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( f `  y
)  e.  y  ->  E. j  e.  A  ( f `  y
)  e.  B ) )
4443ralimdva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  C  ( f `  y )  e.  y  ->  A. y  e.  C  E. j  e.  A  ( f `  y
)  e.  B ) )
4544anim2d 563 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  (
f `  y )  e.  y )  ->  (
f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  E. j  e.  A  ( f `  y
)  e.  B ) ) )
4645eximdv 1718 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  ( f `  y
)  e.  y )  ->  E. f ( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  E. j  e.  A  ( f `  y
)  e.  B ) ) )
4735, 46mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : C --> U. C  /\  A. y  e.  C  E. j  e.  A  ( f `  y
)  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   U.cuni 4163    |-> cmpt 4425   ran crn 4914   -->wf 5492   ` cfv 5496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-ac2 8756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-recs 6960  df-en 7436  df-card 8233  df-ac 8410
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