Theorem acufl 20980

Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acufl	|- (CHOICE -> UFL = _V )

Proof of Theorem acufl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3059	. . . . . . 7 |- x e. _V
2	1	pwex 4599	. . . . . 6 |- ~P x e. _V
3	2	pwex 4599	. . . . 5 |- ~P ~P x e. _V
4		dfac10 8592	. . . . . 6 |- (CHOICE <-> dom card = _V )
5	4	biimpi 199	. . . . 5 |- (CHOICE -> dom card = _V )
6	3, 5	syl5eleqr 2546	. . . 4 |- (CHOICE -> ~P ~P x e. dom card )
7		numufl 20978	. . . 4 |- ( ~P ~P x e. dom card -> x e. UFL )
8	6, 7	syl 17	. . 3 |- (CHOICE -> x e. UFL )
9	1	a1i 11	. . 3 |- (CHOICE -> x e. _V )
10	8, 9	2thd 248	. 2 |- (CHOICE -> ( x e. UFL <-> x e. _V ) )
11	10	eqrdv 2459	1 |- (CHOICE -> UFL = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1454   e. wcel 1897   _Vcvv 3056   ~Pcpw 3962   dom cdm 4852   cardccrd 8394  CHOICEwac 8571  UFLcufl 20963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-rpss 6597  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-fin 7598  df-fi 7950  df-card 8398  df-ac 8572  df-cda 8623  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-fil 20909  df-ufil 20964  df-ufl 20965

This theorem is referenced by:  ptcmp  21121  dfac21  35968