Theorem acufl 19623

Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acufl	|- (CHOICE -> UFL = _V )

Proof of Theorem acufl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3081	. . . . . . 7 |- x e. _V
2	1	pwex 4584	. . . . . 6 |- ~P x e. _V
3	2	pwex 4584	. . . . 5 |- ~P ~P x e. _V
4		dfac10 8418	. . . . . 6 |- (CHOICE <-> dom card = _V )
5	4	biimpi 194	. . . . 5 |- (CHOICE -> dom card = _V )
6	3, 5	syl5eleqr 2549	. . . 4 |- (CHOICE -> ~P ~P x e. dom card )
7		numufl 19621	. . . 4 |- ( ~P ~P x e. dom card -> x e. UFL )
8	6, 7	syl 16	. . 3 |- (CHOICE -> x e. UFL )
9	1	a1i 11	. . 3 |- (CHOICE -> x e. _V )
10	8, 9	2thd 240	. 2 |- (CHOICE -> ( x e. UFL <-> x e. _V ) )
11	10	eqrdv 2451	1 |- (CHOICE -> UFL = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ~Pcpw 3969   dom cdm 4949   cardccrd 8217  CHOICEwac 8397  UFLcufl 19606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-rpss 6471  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-fin 7425  df-fi 7773  df-card 8221  df-ac 8398  df-cda 8449  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-fil 19552  df-ufil 19607  df-ufl 19608

This theorem is referenced by:  ptcmp  19763  dfac21  29568