Theorem acufl 20150

Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acufl	|- (CHOICE -> UFL = _V )

Proof of Theorem acufl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3116	. . . . . . 7 |- x e. _V
2	1	pwex 4630	. . . . . 6 |- ~P x e. _V
3	2	pwex 4630	. . . . 5 |- ~P ~P x e. _V
4		dfac10 8513	. . . . . 6 |- (CHOICE <-> dom card = _V )
5	4	biimpi 194	. . . . 5 |- (CHOICE -> dom card = _V )
6	3, 5	syl5eleqr 2562	. . . 4 |- (CHOICE -> ~P ~P x e. dom card )
7		numufl 20148	. . . 4 |- ( ~P ~P x e. dom card -> x e. UFL )
8	6, 7	syl 16	. . 3 |- (CHOICE -> x e. UFL )
9	1	a1i 11	. . 3 |- (CHOICE -> x e. _V )
10	8, 9	2thd 240	. 2 |- (CHOICE -> ( x e. UFL <-> x e. _V ) )
11	10	eqrdv 2464	1 |- (CHOICE -> UFL = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ~Pcpw 4010   dom cdm 4999   cardccrd 8312  CHOICEwac 8492  UFLcufl 20133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-rpss 6562  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-fi 7867  df-card 8316  df-ac 8493  df-cda 8544  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-fil 20079  df-ufil 20134  df-ufl 20135

This theorem is referenced by:  ptcmp  20290  dfac21  30616