Theorem acufl 20543

Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acufl	|- (CHOICE -> UFL = _V )

Proof of Theorem acufl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . . . . 7 |- x e. _V
2	1	pwex 4639	. . . . . 6 |- ~P x e. _V
3	2	pwex 4639	. . . . 5 |- ~P ~P x e. _V
4		dfac10 8534	. . . . . 6 |- (CHOICE <-> dom card = _V )
5	4	biimpi 194	. . . . 5 |- (CHOICE -> dom card = _V )
6	3, 5	syl5eleqr 2552	. . . 4 |- (CHOICE -> ~P ~P x e. dom card )
7		numufl 20541	. . . 4 |- ( ~P ~P x e. dom card -> x e. UFL )
8	6, 7	syl 16	. . 3 |- (CHOICE -> x e. UFL )
9	1	a1i 11	. . 3 |- (CHOICE -> x e. _V )
10	8, 9	2thd 240	. 2 |- (CHOICE -> ( x e. UFL <-> x e. _V ) )
11	10	eqrdv 2454	1 |- (CHOICE -> UFL = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   ~Pcpw 4015   dom cdm 5008   cardccrd 8333  CHOICEwac 8513  UFLcufl 20526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-rpss 6579  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-card 8337  df-ac 8514  df-cda 8565  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-fil 20472  df-ufil 20527  df-ufl 20528

This theorem is referenced by:  ptcmp  20683  dfac21  31174