Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Unicode version

Theorem acsmapd 15786
 Description: In an algebraic closure system, if is contained in the closure of , there is a map from into the set of finite subsets of such that the closure of contains . This is proven by applying acsficl2d 15784 to each element of . See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 ACS
acsmapd.2 mrCls
acsmapd.3
acsmapd.4
Assertion
Ref Expression
acsmapd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4
2 fvex 5866 . . . . 5
32ssex 4581 . . . 4
41, 3syl 16 . . 3
51sseld 3488 . . . . 5
6 acsmapd.1 . . . . . 6 ACS
7 acsmapd.2 . . . . . 6 mrCls
8 acsmapd.3 . . . . . 6
96, 7, 8acsficl2d 15784 . . . . 5
105, 9sylibd 214 . . . 4
1110ralrimiv 2855 . . 3
12 fveq2 5856 . . . . 5
1312eleq2d 2513 . . . 4
1413ac6sg 8871 . . 3
154, 11, 14sylc 60 . 2
16 simprl 756 . . . . 5
17 nfv 1694 . . . . . . . 8
18 nfv 1694 . . . . . . . . 9
19 nfra1 2824 . . . . . . . . 9
2018, 19nfan 1914 . . . . . . . 8
2117, 20nfan 1914 . . . . . . 7
226ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ACS
2322acsmred 15034 . . . . . . . . . 10 Moore
24 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . 14
25 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . 14
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
27 fnfvelrn 6013 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12
2928snssd 4160 . . . . . . . . . . 11
3029unissd 4258 . . . . . . . . . 10
31 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . 14
3231unissd 4258 . . . . . . . . . . . . 13
33 unifpw 7825 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33syl6sseq 3535 . . . . . . . . . . . 12
3524, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11
368ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
3735, 36sstrd 3499 . . . . . . . . . 10
3823, 7, 30, 37mrcssd 15002 . . . . . . . . 9
39 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
4039r19.21bi 2812 . . . . . . . . . 10
41 fvex 5866 . . . . . . . . . . . 12
4241unisn 4249 . . . . . . . . . . 11
4342fveq2i 5859 . . . . . . . . . 10
4440, 43syl6eleqr 2542 . . . . . . . . 9
4538, 44sseldd 3490 . . . . . . . 8
4645ex 434 . . . . . . 7
4721, 46alrimi 1863 . . . . . 6
48 dfss2 3478 . . . . . 6
4947, 48sylibr 212 . . . . 5
5016, 49jca 532 . . . 4
5150ex 434 . . 3
5251eximdv 1697 . 2
5315, 52mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369  wal 1381   wceq 1383  wex 1599   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794  cvv 3095   cin 3460   wss 3461  cpw 3997  csn 4014  cuni 4234   crn 4990   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  cfn 7518  mrClscmrc 14961  ACScacs 14963 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-reg 8021  ax-inf2 8061  ax-ac2 8846  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-r1 8185  df-rank 8186  df-card 8323  df-ac 8500  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ocomp 14699  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-preset 15535  df-drs 15536  df-poset 15553  df-ipo 15760 This theorem is referenced by:  acsmap2d  15787
 Copyright terms: Public domain W3C validator