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Theorem acsmapd 15654
Description: In an algebraic closure system, if  T is contained in the closure of  S, there is a map  f from  T into the set of finite subsets of  S such that the closure of  U. ran  f contains  T. This is proven by applying acsficl2d 15652 to each element of  T. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsmapd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsmapd.3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
acsmapd.4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  S ) )
Assertion
Ref Expression
acsmapd  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) )
Distinct variable groups:    T, f    ph, f    S, f    f, N
Allowed substitution hints:    A( f)    X( f)

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  S ) )
2 fvex 5867 . . . . 5  |-  ( N `
 S )  e. 
_V
32ssex 4584 . . . 4  |-  ( T 
C_  ( N `  S )  ->  T  e.  _V )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
51sseld 3496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 S ) ) )
6 acsmapd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
7 acsmapd.2 . . . . . 6  |-  N  =  (mrCls `  A )
8 acsmapd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
96, 7, 8acsficl2d 15652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  S )  <->  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y ) ) )
105, 9sylibd 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) x  e.  ( N `  y )
) )
1110ralrimiv 2869 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  T  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y ) )
12 fveq2 5857 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( f `  x
) ) )
1312eleq2d 2530 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  ( N `
 y )  <->  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) ) )
1413ac6sg 8857 . . 3  |-  ( T  e.  _V  ->  ( A. x  e.  T  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y )  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) ) )
154, 11, 14sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )
16 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )
)
17 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
18 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )
19 nfra1 2838 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) )
2018, 19nfan 1870 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) )
2117, 20nfan 1870 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )
226ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2322acsmred 14900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
24 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  f : T
--> ( ~P S  i^i  Fin ) )
25 ffn 5722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  f  Fn  T )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  f  Fn  T )
27 fnfvelrn 6009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  T  /\  x  e.  T )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
2826, 27sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  ( f `  x )  e.  ran  f )
2928snssd 4165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  { (
f `  x ) }  C_  ran  f )
3029unissd 4262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. { ( f `  x ) }  C_  U. ran  f
)
31 frn 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P S  i^i  Fin )
)
3231unissd 4262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  U. ran  f  C_  U. ( ~P S  i^i  Fin ) )
33 unifpw 7812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( ~P S  i^i  Fin )  =  S
3432, 33syl6sseq 3543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  U. ran  f  C_  S )
3524, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. ran  f  C_  S )
368ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  S  C_  X
)
3735, 36sstrd 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. ran  f  C_  X )
3823, 7, 30, 37mrcssd 14868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  ( N `  U. { ( f `
 x ) } )  C_  ( N `  U. ran  f ) )
39 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) )
4039r19.21bi 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) )
41 fvex 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4241unisn 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
( f `  x
) }  =  ( f `  x )
4342fveq2i 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 U. { ( f `  x ) } )  =  ( N `  ( f `
 x ) )
4440, 43syl6eleqr 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  U. {
( f `  x
) } ) )
4538, 44sseldd 3498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  U. ran  f ) )
4645ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 U. ran  f
) ) )
4721, 46alrimi 1820 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  A. x ( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `  U. ran  f ) ) )
48 dfss2 3486 . . . . . 6  |-  ( T 
C_  ( N `  U. ran  f )  <->  A. x
( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 U. ran  f
) ) )
4947, 48sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  T  C_  ( N `  U. ran  f ) )
5016, 49jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `  U. ran  f
) ) )
5150ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) )  ->  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) ) )
5251eximdv 1681 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) )  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `  U. ran  f ) ) ) )
5315, 52mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   {csn 4020   U.cuni 4238   ran crn 4993    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579   Fincfn 7506  mrClscmrc 14827  ACScacs 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-reg 8007  ax-inf2 8047  ax-ac2 8832  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-r1 8171  df-rank 8172  df-card 8309  df-ac 8486  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ocomp 14565  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-preset 15404  df-drs 15405  df-poset 15422  df-ipo 15628
This theorem is referenced by:  acsmap2d  15655
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