MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Unicode version

Theorem acsmapd 15369
Description: In an algebraic closure system, if  T is contained in the closure of  S, there is a map  f from  T into the set of finite subsets of  S such that the closure of  U. ran  f contains  T. This is proven by applying acsficl2d 15367 to each element of  T. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsmapd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsmapd.3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
acsmapd.4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  S ) )
Assertion
Ref Expression
acsmapd  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) )
Distinct variable groups:    T, f    ph, f    S, f    f, N
Allowed substitution hints:    A( f)    X( f)

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  S ) )
2 fvex 5722 . . . . 5  |-  ( N `
 S )  e. 
_V
32ssex 4457 . . . 4  |-  ( T 
C_  ( N `  S )  ->  T  e.  _V )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
51sseld 3376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 S ) ) )
6 acsmapd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
7 acsmapd.2 . . . . . 6  |-  N  =  (mrCls `  A )
8 acsmapd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
96, 7, 8acsficl2d 15367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  S )  <->  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y ) ) )
105, 9sylibd 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) x  e.  ( N `  y )
) )
1110ralrimiv 2819 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  T  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y ) )
12 fveq2 5712 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( f `  x
) ) )
1312eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  ( N `
 y )  <->  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) ) )
1413ac6sg 8678 . . 3  |-  ( T  e.  _V  ->  ( A. x  e.  T  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y )  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) ) )
154, 11, 14sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )
16 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )
)
17 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
18 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )
19 nfra1 2787 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) )
2018, 19nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) )
2117, 20nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )
226ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2322acsmred 14615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
24 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  f : T
--> ( ~P S  i^i  Fin ) )
25 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  f  Fn  T )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  f  Fn  T )
27 fnfvelrn 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  T  /\  x  e.  T )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
2826, 27sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  ( f `  x )  e.  ran  f )
2928snssd 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  { (
f `  x ) }  C_  ran  f )
3029unissd 4136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. { ( f `  x ) }  C_  U. ran  f
)
31 frn 5586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P S  i^i  Fin )
)
3231unissd 4136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  U. ran  f  C_  U. ( ~P S  i^i  Fin ) )
33 unifpw 7635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( ~P S  i^i  Fin )  =  S
3432, 33syl6sseq 3423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  U. ran  f  C_  S )
3524, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. ran  f  C_  S )
368ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  S  C_  X
)
3735, 36sstrd 3387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. ran  f  C_  X )
3823, 7, 30, 37mrcssd 14583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  ( N `  U. { ( f `
 x ) } )  C_  ( N `  U. ran  f ) )
39 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) )
4039r19.21bi 2835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) )
41 fvex 5722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4241unisn 4127 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
( f `  x
) }  =  ( f `  x )
4342fveq2i 5715 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 U. { ( f `  x ) } )  =  ( N `  ( f `
 x ) )
4440, 43syl6eleqr 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  U. {
( f `  x
) } ) )
4538, 44sseldd 3378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  U. ran  f ) )
4645ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 U. ran  f
) ) )
4721, 46alrimi 1811 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  A. x ( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `  U. ran  f ) ) )
48 dfss2 3366 . . . . . 6  |-  ( T 
C_  ( N `  U. ran  f )  <->  A. x
( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 U. ran  f
) ) )
4947, 48sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  T  C_  ( N `  U. ran  f ) )
5016, 49jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `  U. ran  f
) ) )
5150ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) )  ->  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) ) )
5251eximdv 1676 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) )  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `  U. ran  f ) ) ) )
5315, 52mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   {csn 3898   U.cuni 4112   ran crn 4862    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439   Fincfn 7331  mrClscmrc 14542  ACScacs 14544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-reg 7828  ax-inf2 7868  ax-ac2 8653  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-r1 7992  df-rank 7993  df-card 8130  df-ac 8307  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ocomp 14280  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-preset 15119  df-drs 15120  df-poset 15137  df-ipo 15343
This theorem is referenced by:  acsmap2d  15370
  Copyright terms: Public domain W3C validator