Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmap2d Structured version   Unicode version

Theorem acsmap2d 16376
 Description: In an algebraic closure system, if and have the same closure and is independent, then there is a map from into the set of finite subsets of such that equals the union of . This is proven by taking the map from acsmapd 16375 and observing that, since and have the same closure, the closure of must contain . Since is independent, by mrissmrcd 15497, must equal . See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1 ACS
acsmap2d.2 mrCls
acsmap2d.3 mrInd
acsmap2d.4
acsmap2d.5
acsmap2d.6
Assertion
Ref Expression
acsmap2d
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem acsmap2d
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3 ACS
2 acsmap2d.2 . . 3 mrCls
3 acsmap2d.3 . . . 4 mrInd
41acsmred 15513 . . . 4 Moore
5 acsmap2d.4 . . . 4
63, 4, 5mrissd 15493 . . 3
7 acsmap2d.5 . . . . 5
84, 2, 7mrcssidd 15482 . . . 4
9 acsmap2d.6 . . . 4
108, 9sseqtr4d 3507 . . 3
111, 2, 6, 10acsmapd 16375 . 2
12 simprl 762 . . . . 5
134adantr 466 . . . . . 6 Moore
145adantr 466 . . . . . . . . 9
153, 13, 14mrissd 15493 . . . . . . . 8
1613, 2, 15mrcssidd 15482 . . . . . . 7
179adantr 466 . . . . . . . 8
18 simprr 764 . . . . . . . . . 10
1913, 2mrcssvd 15480 . . . . . . . . . 10
2013, 2, 18, 19mrcssd 15481 . . . . . . . . 9
21 frn 5752 . . . . . . . . . . . . . 14
2221unissd 4246 . . . . . . . . . . . . 13
23 unifpw 7883 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23syl6sseq 3516 . . . . . . . . . . . 12
2524ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11
2625, 15sstrd 3480 . . . . . . . . . 10
2713, 2, 26mrcidmd 15483 . . . . . . . . 9
2820, 27sseqtrd 3506 . . . . . . . 8
2917, 28eqsstrd 3504 . . . . . . 7
3016, 29sstrd 3480 . . . . . 6
3113, 2, 3, 30, 25, 14mrissmrcd 15497 . . . . 5
3212, 31jca 534 . . . 4
3332ex 435 . . 3
3433eximdv 1757 . 2
3511, 34mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437  wex 1659   wcel 1870   cin 3441   wss 3442  cpw 3985  cuni 4222   crn 4855  wf 5597  cfv 5601  cfn 7577  Moorecmre 15439  mrClscmrc 15440  mrIndcmri 15441  ACScacs 15442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-ac2 8891  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-r1 8234  df-rank 8235  df-card 8372  df-ac 8545  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ocomp 15173  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-mri 15445  df-acs 15446  df-preset 16124  df-drs 16125  df-poset 16142  df-ipo 16349 This theorem is referenced by:  acsinfd  16377  acsdomd  16378
 Copyright terms: Public domain W3C validator