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Theorem acsfn2 15042
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b,
c, V    X, a,
b, c    E, a
Allowed substitution hints:    E( b, c)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 4006 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
2 ralss 3551 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a ) ) )
3 ralss 3551 . . . . . . . 8  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. c  e.  a 
( b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  A. c  e.  X  ( c  e.  a  ->  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) ) )
4 r19.21v 2848 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  a  (
b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )
)
5 impexp 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  ->  E  e.  a )  <->  ( c  e.  a  ->  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
6 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
7 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  e. 
_V
86, 7prss 4169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  <->  { c ,  b } 
C_  a )
98imbi1i 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  ->  E  e.  a )  <->  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
105, 9bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  a  -> 
( b  e.  a  ->  E  e.  a ) )  <->  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
1110ralbii 2874 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  X  (
c  e.  a  -> 
( b  e.  a  ->  E  e.  a ) )  <->  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
123, 4, 113bitr3g 287 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  X  ->  (
( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )  <->  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
1312ralbidv 2882 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
142, 13bitrd 253 . . . . 5  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
151, 14syl 16 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
1615rabbiia 3084 . . 3  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }
17 riinrab 4391 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
1816, 17eqtr4i 2475 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  =  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) } )
19 mreacs 15037 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
21 riinrab 4391 . . . . . . 7  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
2219ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
23 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  X  e.  V )
24 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  E  e.  X )
25 prssi 4171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  { c ,  b }  C_  X )
2625ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  { c ,  b }  C_  X )
2726ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { c ,  b }  C_  X )
28 prfi 7797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { c ,  b }  e.  Fin
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { c ,  b }  e.  Fin )
30 acsfn 15038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
c ,  b } 
C_  X  /\  {
c ,  b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e. 
~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
3123, 24, 27, 29, 30syl22anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
3231expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  c  e.  X )  ->  ( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) ) )
3332ralimdva 2851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3433imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
35 mreriincl 14977 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. c  e.  X  { a  e. 
~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
3622, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
3721, 36syl5eqelr 2536 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
3837ex 434 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3938ralimdva 2851 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  X  {
a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
4039imp 429 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
41 mreriincl 14977 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  X  { a  e. 
~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
4220, 40, 41syl2anc 661 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
4318, 42syl5eqel 2535 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   A.wral 2793   {crab 2797    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {cpr 4016   |^|_ciin 4316   ` cfv 5578   Fincfn 7518  Moorecmre 14961  ACScacs 14964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968
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