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Theorem acsfn2 14606
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b,
c, V    X, a,
b, c    E, a
Allowed substitution hints:    E( b, c)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 3874 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
2 ralss 3423 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a ) ) )
3 ralss 3423 . . . . . . . 8  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. c  e.  a 
( b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  A. c  e.  X  ( c  e.  a  ->  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) ) )
4 r19.21v 2808 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  a  (
b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )
)
5 impexp 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  ->  E  e.  a )  <->  ( c  e.  a  ->  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
6 vex 2980 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
7 vex 2980 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  e. 
_V
86, 7prss 4032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  <->  { c ,  b } 
C_  a )
98imbi1i 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  ->  E  e.  a )  <->  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
105, 9bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  a  -> 
( b  e.  a  ->  E  e.  a ) )  <->  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
1110ralbii 2744 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  X  (
c  e.  a  -> 
( b  e.  a  ->  E  e.  a ) )  <->  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
123, 4, 113bitr3g 287 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  X  ->  (
( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )  <->  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
1312ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
142, 13bitrd 253 . . . . 5  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
151, 14syl 16 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
1615rabbiia 2966 . . 3  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }
17 riinrab 4251 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
1816, 17eqtr4i 2466 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  =  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) } )
19 mreacs 14601 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
21 riinrab 4251 . . . . . . 7  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
2219ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
23 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  X  e.  V )
24 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  E  e.  X )
25 prssi 4034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  { c ,  b }  C_  X )
2625ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  { c ,  b }  C_  X )
2726ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { c ,  b }  C_  X )
28 prfi 7591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { c ,  b }  e.  Fin
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { c ,  b }  e.  Fin )
30 acsfn 14602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
c ,  b } 
C_  X  /\  {
c ,  b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e. 
~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
3123, 24, 27, 29, 30syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
3231expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  c  e.  X )  ->  ( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) ) )
3332ralimdva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3433imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
35 mreriincl 14541 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. c  e.  X  { a  e. 
~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
3622, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
3721, 36syl5eqelr 2528 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
3837ex 434 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3938ralimdva 2799 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  X  {
a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
4039imp 429 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
41 mreriincl 14541 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  X  { a  e. 
~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
4220, 40, 41syl2anc 661 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
4318, 42syl5eqel 2527 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2720   {crab 2724    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   {cpr 3884   |^|_ciin 4177   ` cfv 5423   Fincfn 7315  Moorecmre 14525  ACScacs 14528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532
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