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Theorem acsfn1p 35525
Description: Construction of a closure rule from a one-parameter partial operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1p  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b, V    E, a    X, a, b    Y, a, b
Allowed substitution hint:    E( b)

Proof of Theorem acsfn1p
StepHypRef Expression
1 riinrab 4349 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
2 elpwi 3966 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
3 ssrin 3666 . . . . . . . 8  |-  ( a 
C_  X  ->  (
a  i^i  Y )  C_  ( X  i^i  Y
) )
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( a  i^i  Y
)  C_  ( X  i^i  Y ) )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  (
a  i^i  Y )  C_  ( X  i^i  Y
) )
6 ralss 3507 . . . . . 6  |-  ( ( a  i^i  Y ) 
C_  ( X  i^i  Y )  ->  ( A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( b  e.  ( a  i^i  Y )  ->  E  e.  a ) ) )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  ( A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) ( b  e.  ( a  i^i  Y
)  ->  E  e.  a ) ) )
8 inss2 3662 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
98sseli 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  b  e.  Y )
109biantrud 507 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( b  e.  a  <->  ( b  e.  a  /\  b  e.  Y ) ) )
11 vex 3064 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
1211snss 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  a  <->  { b }  C_  a )
1312bicomi 204 . . . . . . . 8  |-  ( { b }  C_  a  <->  b  e.  a )
14 elin 3628 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( a  i^i 
Y )  <->  ( b  e.  a  /\  b  e.  Y ) )
1510, 13, 143bitr4g 290 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( {
b }  C_  a  <->  b  e.  ( a  i^i 
Y ) ) )
1615imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  ( b  e.  ( a  i^i  Y
)  ->  E  e.  a ) ) )
1716ralbiia 2836 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( b  e.  ( a  i^i  Y )  ->  E  e.  a )
)
187, 17syl6rbbr 266 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a ) )
1918rabbidva 3052 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  =  {
a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a } )
201, 19syl5eq 2457 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( a  i^i  Y
) E  e.  a } )
21 mreacs 15274 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
2221adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
23 ssralv 3505 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) E  e.  X ) )
248, 23ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) E  e.  X
)
25 simpll 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  X  e.  V )
26 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  E  e.  X )
27 inss1 3661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2827sseli 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  b  e.  X )
2928ad2antlr 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  b  e.  X )
3029snssd 4119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { b }  C_  X )
31 snfi 7636 . . . . . . . . 9  |-  { b }  e.  Fin
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { b }  e.  Fin )
33 acsfn 15275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
b }  C_  X  /\  { b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
3425, 26, 30, 32, 33syl22anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
3534ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3635ralimdva 2814 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) ) )
3724, 36syl5 32 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
3837imp 429 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
39 mreriincl 15214 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y ) { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS
`  X ) )
4022, 38, 39syl2anc 661 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X )
)
4120, 40eqeltrrd 2493 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844   A.wral 2756   {crab 2760    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3957   {csn 3974   |^|_ciin 4274   ` cfv 5571   Fincfn 7556  Moorecmre 15198  ACScacs 15201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-om 6686  df-1o 7169  df-en 7557  df-fin 7560  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205
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