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Theorem acsfn1p 36136
Description: Construction of a closure rule from a one-parameter partial operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1p  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b, V    E, a    X, a, b    Y, a, b
Allowed substitution hint:    E( b)

Proof of Theorem acsfn1p
StepHypRef Expression
1 riinrab 4345 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
2 elpwi 3951 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
3 ssrin 3648 . . . . . . . 8  |-  ( a 
C_  X  ->  (
a  i^i  Y )  C_  ( X  i^i  Y
) )
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( a  i^i  Y
)  C_  ( X  i^i  Y ) )
54adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  (
a  i^i  Y )  C_  ( X  i^i  Y
) )
6 ralss 3481 . . . . . 6  |-  ( ( a  i^i  Y ) 
C_  ( X  i^i  Y )  ->  ( A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( b  e.  ( a  i^i  Y )  ->  E  e.  a ) ) )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  ( A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) ( b  e.  ( a  i^i  Y
)  ->  E  e.  a ) ) )
8 inss2 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
98sseli 3414 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  b  e.  Y )
109biantrud 515 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( b  e.  a  <->  ( b  e.  a  /\  b  e.  Y ) ) )
11 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
1211snss 4087 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  a  <->  { b }  C_  a )
1312bicomi 207 . . . . . . . 8  |-  ( { b }  C_  a  <->  b  e.  a )
14 elin 3608 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( a  i^i 
Y )  <->  ( b  e.  a  /\  b  e.  Y ) )
1510, 13, 143bitr4g 296 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( {
b }  C_  a  <->  b  e.  ( a  i^i 
Y ) ) )
1615imbi1d 324 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  ( b  e.  ( a  i^i  Y
)  ->  E  e.  a ) ) )
1716ralbiia 2822 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( b  e.  ( a  i^i  Y )  ->  E  e.  a )
)
187, 17syl6rbbr 272 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a ) )
1918rabbidva 3021 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  =  {
a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a } )
201, 19syl5eq 2517 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( a  i^i  Y
) E  e.  a } )
21 mreacs 15642 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
2221adantr 472 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
23 ssralv 3479 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) E  e.  X ) )
248, 23ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) E  e.  X
)
25 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  X  e.  V )
26 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  E  e.  X )
27 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2827sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  b  e.  X )
2928ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  b  e.  X )
3029snssd 4108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { b }  C_  X )
31 snfi 7668 . . . . . . . . 9  |-  { b }  e.  Fin
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { b }  e.  Fin )
33 acsfn 15643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
b }  C_  X  /\  { b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
3425, 26, 30, 32, 33syl22anc 1293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
3534ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3635ralimdva 2805 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) ) )
3724, 36syl5 32 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
3837imp 436 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
39 mreriincl 15582 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y ) { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS
`  X ) )
4022, 38, 39syl2anc 673 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X )
)
4120, 40eqeltrrd 2550 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   |^|_ciin 4270   ` cfv 5589   Fincfn 7587  Moorecmre 15566  ACScacs 15569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-en 7588  df-fin 7591  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573
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