MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1c Structured version   Unicode version

Theorem acsfn1c 14702
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1c  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    K, a,
b, c    V, a,
b, c    X, a,
b, c    E, a
Allowed substitution hints:    E( b, c)

Proof of Theorem acsfn1c
StepHypRef Expression
1 riinrab 4344 . 2  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }
2 mreacs 14698 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
4 acsfn1 14701 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
54ex 434 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X
) ) )
65ralimdv 2826 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  K  {
a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X
) ) )
76imp 429 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS
`  X ) )
8 mreriincl 14638 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  K  { a  e. 
~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  e.  (ACS
`  X ) )
93, 7, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  e.  (ACS `  X )
)
101, 9syl5eqelr 2544 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799    i^i cin 3425   ~Pcpw 3958   |^|_ciin 4270   ` cfv 5516  Moorecmre 14622  ACScacs 14625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-om 6577  df-1o 7020  df-en 7411  df-fin 7414  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629
This theorem is referenced by:  nsgacs  15819  lssacs  17154
  Copyright terms: Public domain W3C validator