MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1c Structured version   Unicode version

Theorem acsfn1c 15276
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1c  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    K, a,
b, c    V, a,
b, c    X, a,
b, c    E, a
Allowed substitution hints:    E( b, c)

Proof of Theorem acsfn1c
StepHypRef Expression
1 riinrab 4347 . 2  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }
2 mreacs 15272 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
32adantr 463 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
4 acsfn1 15275 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
54ex 432 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X
) ) )
65ralimdv 2814 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  K  {
a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X
) ) )
76imp 427 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS
`  X ) )
8 mreriincl 15212 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  K  { a  e. 
~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  e.  (ACS
`  X ) )
93, 7, 8syl2anc 659 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  e.  (ACS `  X )
)
101, 9syl5eqelr 2495 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758    i^i cin 3413   ~Pcpw 3955   |^|_ciin 4272   ` cfv 5569  Moorecmre 15196  ACScacs 15199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-1o 7167  df-en 7555  df-fin 7558  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203
This theorem is referenced by:  nsgacs  16561  lssacs  17933
  Copyright terms: Public domain W3C validator