MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1c Structured version   Unicode version

Theorem acsfn1c 14596
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1c  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    K, a,
b, c    V, a,
b, c    X, a,
b, c    E, a
Allowed substitution hints:    E( b, c)

Proof of Theorem acsfn1c
StepHypRef Expression
1 riinrab 4243 . 2  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }
2 mreacs 14592 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
32adantr 462 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
4 acsfn1 14595 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
54ex 434 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X
) ) )
65ralimdv 2793 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  K  {
a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X
) ) )
76imp 429 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS
`  X ) )
8 mreriincl 14532 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  K  { a  e. 
~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  e.  (ACS
`  X ) )
93, 7, 8syl2anc 656 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  e.  (ACS `  X )
)
101, 9syl5eqelr 2526 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717    i^i cin 3324   ~Pcpw 3857   |^|_ciin 4169   ` cfv 5415  Moorecmre 14516  ACScacs 14519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-1o 6916  df-en 7307  df-fin 7310  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523
This theorem is referenced by:  nsgacs  15710  lssacs  17026
  Copyright terms: Public domain W3C validator