MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1 Structured version   Unicode version

Theorem acsfn1 15077
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b, V    X, a, b    E, a
Allowed substitution hint:    E( b)

Proof of Theorem acsfn1
StepHypRef Expression
1 elpwi 4024 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
2 ralss 3562 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
4 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
54snss 4156 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  a  <->  { b }  C_  a )
65imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) )
76ralbii 2888 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  X  (
b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  X  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) )
83, 7syl6bb 261 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
98rabbiia 3098 . . 3  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
10 riinrab 4408 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
119, 10eqtr4i 2489 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  =  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )
12 mreacs 15074 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
14 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  X  e.  V )
15 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  E  e.  X )
16 snssi 4176 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  X  ->  { b }  C_  X )
1716ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { b }  C_  X )
18 snfi 7615 . . . . . . . 8  |-  { b }  e.  Fin
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { b }  e.  Fin )
20 acsfn 15075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
b }  C_  X  /\  { b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
2221ex 434 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
2322ralimdva 2865 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  X  {
a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
2423imp 429 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
25 mreriincl 15014 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  X  { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS
`  X ) )
2613, 24, 25syl2anc 661 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X )
)
2711, 26syl5eqel 2549 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   |^|_ciin 4333   ` cfv 5594   Fincfn 7535  Moorecmre 14998  ACScacs 15001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-1o 7148  df-en 7536  df-fin 7539  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005
This theorem is referenced by:  acsfn1c  15078  subgacs  16362  sdrgacs  31312
  Copyright terms: Public domain W3C validator