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Theorem acsfn 14717
Description: Algebraicity of a conditional point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
Distinct variable groups:    K, a    T, a    V, a    X, a

Proof of Theorem acsfn
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5563 . . . . . . 7  |-  Fun  (
b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2 funiunfv 6075 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `  c )  =  U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
) )
31, 2mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  = 
U. ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) "
( ~P a  i^i 
Fin ) ) )
4 inss1 3679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
~P a
54sseli 3461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  c  e.  ~P a )
65elpwid 3979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  c  C_  a )
7 elpwi 3978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
86, 7sylan9ssr 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ~P X  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
)  ->  c  C_  X )
9 selpw 3976 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P X  <->  c  C_  X )
108, 9sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ~P X  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
)  ->  c  e.  ~P X )
1110adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )  ->  c  e.  ~P X )
12 eqeq1 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  c  ->  (
b  =  T  <->  c  =  T ) )
1312ifbid 3920 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
14 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )  =  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
15 snex 4642 . . . . . . . . . 10  |-  { K }  e.  _V
16 0ex 4531 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
1715, 16ifex 3967 . . . . . . . . 9  |-  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  _V
1813, 14, 17fvmpt 5884 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P X  -> 
( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `  c
)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )  ->  (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2019iuneq2dv 4301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  = 
U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
213, 20eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  = 
U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2221sseq1d 3492 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
)  C_  a  <->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a ) )
23 iunss 4320 . . . . 5  |-  ( U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a
)
24 sseq1 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( { K }  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  ->  ( { K }  C_  a  <->  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a
) )
2524bibi1d 319 . . . . . . . 8  |-  ( { K }  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  ->  (
( { K }  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) ) )
26 sseq1 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  -> 
( (/)  C_  a  <->  if (
c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a ) )
2726bibi1d 319 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  -> 
( ( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
)  <->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) ) )
28 snssg 4116 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  X  ->  ( K  e.  a  <->  { K }  C_  a ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( K  e.  a  <->  { K }  C_  a
) )
30 biimt 335 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  T  ->  ( K  e.  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( K  e.  a  <-> 
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3229, 31bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( { K }  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
33 0ss 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  a
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  c  =  T  ->  (/)  C_  a )
35 pm2.21 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  c  =  T  -> 
( c  =  T  ->  K  e.  a ) )
3634, 352thd 240 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  c  =  T  -> 
( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  X  /\  -.  c  =  T
)  ->  ( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) )
3825, 27, 32, 37ifbothda 3933 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  X  ->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) )
3938ralbidv 2846 . . . . . 6  |-  ( K  e.  X  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4039ad3antlr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4123, 40syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
42 sspwb 4650 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  X  <->  ~P a  C_ 
~P X )
437, 42sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ~P X  ->  ~P a  C_  ~P X
)
444, 43syl5ss 3476 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( ~P a  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
4544adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ~P a  i^i  Fin )  C_  ~P X )
46 ralss 3527 . . . . . 6  |-  ( ( ~P a  i^i  Fin )  C_  ~P X  -> 
( A. c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  A. c  e.  ~P  X ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  (
c  =  T  ->  K  e.  a )
) ) )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) ) )
48 bi2.04 361 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( c  =  T  ->  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
4948ralbii 2839 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  A. c  e.  ~P  X ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
50 elpwg 3977 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Fin  ->  ( T  e.  ~P X  <->  T 
C_  X ) )
5150biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin )  ->  T  e.  ~P X
)
5251ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  T  e.  ~P X )
53 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  <->  T  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ) )
5453imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  T  ->  (
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5554ceqsralv 3107 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ~P X  -> 
( A. c  e. 
~P  X ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5652, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ~P  X
( c  =  T  ->  ( c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5749, 56syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
58 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
5958elpw2 4565 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ~P a  <->  T  C_  a
)
60 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  T  e.  Fin )
6160biantrud 507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ~P a  <->  ( T  e.  ~P a  /\  T  e.  Fin ) ) )
62 elin 3648 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  <->  ( T  e.  ~P a  /\  T  e.  Fin ) )
6361, 62syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ~P a  <->  T  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ) )
6459, 63syl5rbbr 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  T  C_  a
) )
6564imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ( T  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a )  <->  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
6647, 57, 653bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
6722, 41, 663bitrrd 280 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ( T  C_  a  ->  K  e.  a )  <->  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a ) )
6867rabbidva 3069 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  =  { a  e.  ~P X  |  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a } )
69 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  X  e.  V )
70 snelpwi 4646 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  X  ->  { K }  e.  ~P X
)
7170ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { K }  e.  ~P X )
72 0elpw 4570 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P X
73 ifcl 3940 . . . . . 6  |-  ( ( { K }  e.  ~P X  /\  (/)  e.  ~P X )  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X )
7471, 72, 73sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X )
7574adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  b  e.  ~P X
)  ->  if (
b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X
)
7675, 14fmptd 5977 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  -> 
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) : ~P X --> ~P X
)
77 isacs1i 14715 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) : ~P X --> ~P X
)  ->  { a  e.  ~P X  |  U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
)  C_  a }  e.  (ACS `  X )
)
7869, 76, 77syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a }  e.  (ACS `  X ) )
7968, 78eqeltrd 2542 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3746   ifcif 3900   ~Pcpw 3969   {csn 3986   U.cuni 4200   U_ciun 4280    |-> cmpt 4459   "cima 4952   Fun wfun 5521   -->wf 5523   ` cfv 5527   Fincfn 7421  ACScacs 14643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-fv 5535  df-mre 14644  df-acs 14647
This theorem is referenced by:  acsfn0  14718  acsfn1  14719  acsfn2  14721  acsfn1p  29705
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