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Theorem acsfn 15148
Description: Algebraicity of a conditional point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
Distinct variable groups:    K, a    T, a    V, a    X, a

Proof of Theorem acsfn
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5606 . . . . . . 7  |-  Fun  (
b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2 funiunfv 6135 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `  c )  =  U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
) )
31, 2mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  = 
U. ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) "
( ~P a  i^i 
Fin ) ) )
4 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
~P a
54sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  c  e.  ~P a )
65elpwid 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  c  C_  a )
7 elpwi 4008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
86, 7sylan9ssr 3503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ~P X  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
)  ->  c  C_  X )
9 selpw 4006 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P X  <->  c  C_  X )
108, 9sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ~P X  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
)  ->  c  e.  ~P X )
1110adantll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )  ->  c  e.  ~P X )
12 eqeq1 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  c  ->  (
b  =  T  <->  c  =  T ) )
1312ifbid 3951 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
14 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )  =  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
15 snex 4678 . . . . . . . . . 10  |-  { K }  e.  _V
16 0ex 4569 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
1715, 16ifex 3997 . . . . . . . . 9  |-  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  _V
1813, 14, 17fvmpt 5931 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P X  -> 
( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `  c
)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )  ->  (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2019iuneq2dv 4337 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  = 
U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
213, 20eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  = 
U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2221sseq1d 3516 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
)  C_  a  <->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a ) )
23 iunss 4356 . . . . 5  |-  ( U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a
)
24 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( { K }  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  ->  ( { K }  C_  a  <->  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a
) )
2524bibi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( { K }  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  ->  (
( { K }  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) ) )
26 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  -> 
( (/)  C_  a  <->  if (
c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a ) )
2726bibi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  -> 
( ( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
)  <->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) ) )
28 snssg 4149 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  X  ->  ( K  e.  a  <->  { K }  C_  a ) )
2928adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( K  e.  a  <->  { K }  C_  a
) )
30 biimt 333 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  T  ->  ( K  e.  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3130adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( K  e.  a  <-> 
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3229, 31bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( { K }  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
33 0ss 3813 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  a
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  c  =  T  ->  (/)  C_  a )
35 pm2.21 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  c  =  T  -> 
( c  =  T  ->  K  e.  a ) )
3634, 352thd 240 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  c  =  T  -> 
( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3736adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  X  /\  -.  c  =  T
)  ->  ( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) )
3825, 27, 32, 37ifbothda 3964 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  X  ->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) )
3938ralbidv 2893 . . . . . 6  |-  ( K  e.  X  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4039ad3antlr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4123, 40syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
42 sspwb 4686 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  X  <->  ~P a  C_ 
~P X )
437, 42sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ~P X  ->  ~P a  C_  ~P X
)
444, 43syl5ss 3500 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( ~P a  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
4544adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ~P a  i^i  Fin )  C_  ~P X )
46 ralss 3552 . . . . . 6  |-  ( ( ~P a  i^i  Fin )  C_  ~P X  -> 
( A. c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  A. c  e.  ~P  X ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  (
c  =  T  ->  K  e.  a )
) ) )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) ) )
48 bi2.04 359 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( c  =  T  ->  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
4948ralbii 2885 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  A. c  e.  ~P  X ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
50 elpwg 4007 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Fin  ->  ( T  e.  ~P X  <->  T 
C_  X ) )
5150biimparc 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin )  ->  T  e.  ~P X
)
5251ad2antlr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  T  e.  ~P X )
53 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  <->  T  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ) )
5453imbi1d 315 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  T  ->  (
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5554ceqsralv 3135 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ~P X  -> 
( A. c  e. 
~P  X ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5652, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ~P  X
( c  =  T  ->  ( c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5749, 56syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
58 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
5958elpw2 4601 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ~P a  <->  T  C_  a
)
60 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  T  e.  Fin )
6160biantrud 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ~P a  <->  ( T  e.  ~P a  /\  T  e.  Fin ) ) )
62 elin 3673 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  <->  ( T  e.  ~P a  /\  T  e.  Fin ) )
6361, 62syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ~P a  <->  T  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ) )
6459, 63syl5rbbr 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  T  C_  a
) )
6564imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ( T  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a )  <->  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
6647, 57, 653bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
6722, 41, 663bitrrd 280 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ( T  C_  a  ->  K  e.  a )  <->  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a ) )
6867rabbidva 3097 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  =  { a  e.  ~P X  |  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a } )
69 simpll 751 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  X  e.  V )
70 snelpwi 4682 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  X  ->  { K }  e.  ~P X
)
7170ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { K }  e.  ~P X )
72 0elpw 4606 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P X
73 ifcl 3971 . . . . . 6  |-  ( ( { K }  e.  ~P X  /\  (/)  e.  ~P X )  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X )
7471, 72, 73sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X )
7574adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  b  e.  ~P X
)  ->  if (
b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X
)
7675, 14fmptd 6031 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  -> 
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) : ~P X --> ~P X
)
77 isacs1i 15146 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) : ~P X --> ~P X
)  ->  { a  e.  ~P X  |  U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
)  C_  a }  e.  (ACS `  X )
)
7869, 76, 77syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a }  e.  (ACS `  X ) )
7968, 78eqeltrd 2542 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   U_ciun 4315    |-> cmpt 4497   "cima 4991   Fun wfun 5564   -->wf 5566   ` cfv 5570   Fincfn 7509  ACScacs 15074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-mre 15075  df-acs 15078
This theorem is referenced by:  acsfn0  15149  acsfn1  15150  acsfn2  15152  acsfn1p  31389
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