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Theorem acsfiindd 16410
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsfiindd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsfiindd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsfiindd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
acsfiindd  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables  x  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 15549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
32ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
4 acsfiindd.2 . . . . 5  |-  N  =  (mrCls `  A )
5 acsfiindd.3 . . . . 5  |-  I  =  (mrInd `  A )
6 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  I )
7 inss1 3682 . . . . . . 7  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
~P S
8 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
97, 8sseldi 3462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ~P S )
109elpwid 3989 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  S )
113, 4, 5, 6, 10mrissmrid 15534 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  I )
1211ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
13 dfss3 3454 . . 3  |-  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  <->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
1412, 13sylibr 215 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )
152adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
16 acsfiindd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
1716adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  C_  X )
18 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )
19 elfpw 7878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( ~P ( S  \  { x }
)  i^i  Fin )  <->  ( t  C_  ( S  \  { x } )  /\  t  e.  Fin ) )
2018, 19sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  C_  ( S  \  {
x } )  /\  t  e.  Fin )
)
2120simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
2221difss2d 3595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  S )
23 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  x  e.  S )
2423snssd 4142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  { x }  C_  S )
2522, 24unssd 3642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
2620simprd 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  Fin )
27 snfi 7653 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x }  e.  Fin
28 unfi 7840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  { x }  e.  Fin )  ->  ( t  u. 
{ x } )  e.  Fin )
2926, 27, 28sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  Fin )
30 elfpw 7878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) 
<->  ( ( t  u. 
{ x } ) 
C_  S  /\  (
t  u.  { x } )  e.  Fin ) )
3125, 29, 30sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
322ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
33 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  s  e.  I )
34 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  S )
35 snidg 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  { x } )
36 elun2 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x }  ->  x  e.  ( t  u.  { x }
) )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  ( t  u.  {
x } ) )
38 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  =  ( t  u.  {
x } ) )
3937, 38eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  s )
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  x  e.  s )
414, 5, 32, 33, 40ismri2dad 15530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
422ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
4321adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
44 neldifsnd 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  ( S  \  {
x } ) )
4543, 44ssneldd 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  t )
46 difsnb 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  t  <->  ( t  \  { x } )  =  t )
4745, 46sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } )  =  t )
48 ssun1 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  C_  ( t  u.  {
x } )
4948, 38syl5sseqr 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  s )
5049ssdifd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } ) 
C_  ( s  \  { x } ) )
5147, 50eqsstr3d 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( s  \  {
x } ) )
5225adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
5316ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  S  C_  X
)
5452, 53sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  X )
5538, 54eqsstrd 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  C_  X )
5655ssdifssd 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  \  { x } ) 
C_  X )
5742, 4, 51, 56mrcssd 15517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( N `  t )  C_  ( N `  ( s  \  { x } ) ) )
5857sseld 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( x  e.  ( N `  t
)  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  ( x  e.  ( N `  t )  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
6041, 59mtod 180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) )
6160ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6231, 61rspcimdv 3183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6313, 62syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6463impancom 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  (
t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6564ralrimiv 2837 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
)
6616ssdifssd 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
x } )  C_  X )
671, 4, 66acsficl2d 16409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) )  <->  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
6867notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
69 ralnex 2871 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) x  e.  ( N `  t ) )
7068, 69syl6bbr 266 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
) )
7170ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `
 t ) ) )
7265, 71mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7372an32s 811 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7473ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
754, 5, 15, 17, 74ismri2dd 15527 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  e.  I )
7614, 75impbida 840 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   ` cfv 5597   Fincfn 7573  Moorecmre 15475  mrClscmrc 15476  mrIndcmri 15477  ACScacs 15478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ocomp 15198  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-mri 15481  df-acs 15482  df-preset 16160  df-drs 16161  df-poset 16178  df-ipo 16385
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