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Theorem acsfiindd 15933
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsfiindd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsfiindd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsfiindd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
acsfiindd  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables  x  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 15072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
32ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
4 acsfiindd.2 . . . . 5  |-  N  =  (mrCls `  A )
5 acsfiindd.3 . . . . 5  |-  I  =  (mrInd `  A )
6 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  I )
7 inss1 3714 . . . . . . 7  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
~P S
8 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
97, 8sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ~P S )
109elpwid 4025 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  S )
113, 4, 5, 6, 10mrissmrid 15057 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  I )
1211ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
13 dfss3 3489 . . 3  |-  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  <->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
1412, 13sylibr 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )
152adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
16 acsfiindd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
1716adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  C_  X )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )
19 elfpw 7840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( ~P ( S  \  { x }
)  i^i  Fin )  <->  ( t  C_  ( S  \  { x } )  /\  t  e.  Fin ) )
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  C_  ( S  \  {
x } )  /\  t  e.  Fin )
)
2120simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
2221difss2d 3630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  S )
23 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  x  e.  S )
2423snssd 4177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  { x }  C_  S )
2522, 24unssd 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
2620simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  Fin )
27 snfi 7615 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x }  e.  Fin
28 unfi 7805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  { x }  e.  Fin )  ->  ( t  u. 
{ x } )  e.  Fin )
2926, 27, 28sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  Fin )
30 elfpw 7840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) 
<->  ( ( t  u. 
{ x } ) 
C_  S  /\  (
t  u.  { x } )  e.  Fin ) )
3125, 29, 30sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
322ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  s  e.  I )
34 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  S )
35 snidg 4058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  { x } )
36 elun2 3668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x }  ->  x  e.  ( t  u.  { x }
) )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  ( t  u.  {
x } ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  =  ( t  u.  {
x } ) )
3937, 38eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  s )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  x  e.  s )
414, 5, 32, 33, 40ismri2dad 15053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
422ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
4321adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
44 neldifsnd 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  ( S  \  {
x } ) )
4543, 44ssneldd 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  t )
46 difsnb 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  t  <->  ( t  \  { x } )  =  t )
4745, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } )  =  t )
48 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  C_  ( t  u.  {
x } )
4948, 38syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  s )
5049ssdifd 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } ) 
C_  ( s  \  { x } ) )
5147, 50eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( s  \  {
x } ) )
5225adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
5316ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  S  C_  X
)
5452, 53sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  X )
5538, 54eqsstrd 3533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  C_  X )
5655ssdifssd 3638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  \  { x } ) 
C_  X )
5742, 4, 51, 56mrcssd 15040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( N `  t )  C_  ( N `  ( s  \  { x } ) ) )
5857sseld 3498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( x  e.  ( N `  t
)  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  ( x  e.  ( N `  t )  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
6041, 59mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6231, 61rspcimdv 3211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6313, 62syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6463impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  (
t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6564ralrimiv 2869 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
)
6616ssdifssd 3638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
x } )  C_  X )
671, 4, 66acsficl2d 15932 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) )  <->  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
6867notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
69 ralnex 2903 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) x  e.  ( N `  t ) )
7068, 69syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
) )
7170ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `
 t ) ) )
7265, 71mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7372an32s 804 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7473ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
754, 5, 15, 17, 74ismri2dd 15050 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  e.  I )
7614, 75impbida 832 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   ` cfv 5594   Fincfn 7535  Moorecmre 14998  mrClscmrc 14999  mrIndcmri 15000  ACScacs 15001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ocomp 14732  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-mri 15004  df-acs 15005  df-preset 15683  df-drs 15684  df-poset 15701  df-ipo 15908
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