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Theorem acsfiindd 14558
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsfiindd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsfiindd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsfiindd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
acsfiindd  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables  x  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 13836 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
32ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
4 acsfiindd.2 . . . . 5  |-  N  =  (mrCls `  A )
5 acsfiindd.3 . . . . 5  |-  I  =  (mrInd `  A )
6 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  I )
7 inss1 3521 . . . . . . 7  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
~P S
8 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
97, 8sseldi 3306 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ~P S )
109elpwid 3768 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  S )
113, 4, 5, 6, 10mrissmrid 13821 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  I )
1211ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
13 dfss3 3298 . . 3  |-  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  <->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
1412, 13sylibr 204 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )
152adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
16 acsfiindd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
1716adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  C_  X )
18 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )
19 elfpw 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( ~P ( S  \  { x }
)  i^i  Fin )  <->  ( t  C_  ( S  \  { x } )  /\  t  e.  Fin ) )
2018, 19sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  C_  ( S  \  {
x } )  /\  t  e.  Fin )
)
2120simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
2221difss2d 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  S )
23 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  x  e.  S )
2423snssd 3903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  { x }  C_  S )
2522, 24unssd 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
2620simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  Fin )
27 snfi 7146 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x }  e.  Fin
28 unfi 7333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  { x }  e.  Fin )  ->  ( t  u. 
{ x } )  e.  Fin )
2926, 27, 28sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  Fin )
30 elfpw 7366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) 
<->  ( ( t  u. 
{ x } ) 
C_  S  /\  (
t  u.  { x } )  e.  Fin ) )
3125, 29, 30sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
322ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
33 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  s  e.  I )
34 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  S )
35 snidg 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  { x } )
36 elun2 3475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x }  ->  x  e.  ( t  u.  { x }
) )
3734, 35, 363syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  ( t  u.  {
x } ) )
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  =  ( t  u.  {
x } ) )
3937, 38eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  s )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  x  e.  s )
414, 5, 32, 33, 40ismri2dad 13817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
422ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
4321adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
44 neldifsnd 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  ( S  \  {
x } ) )
4543, 44ssneldd 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  t )
46 difsnb 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  t  <->  ( t  \  { x } )  =  t )
4745, 46sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } )  =  t )
48 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  C_  ( t  u.  {
x } )
4948, 38syl5sseqr 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  s )
5049ssdifd 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } ) 
C_  ( s  \  { x } ) )
5147, 50eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( s  \  {
x } ) )
5225adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
5316ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  S  C_  X
)
5452, 53sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  X )
5538, 54eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  C_  X )
5655ssdifssd 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  \  { x } ) 
C_  X )
5742, 4, 51, 56mrcssd 13804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( N `  t )  C_  ( N `  ( s  \  { x } ) ) )
5857sseld 3307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( x  e.  ( N `  t
)  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  ( x  e.  ( N `  t )  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
6041, 59mtod 170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) )
6160ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6231, 61rspcimdv 3013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6313, 62syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6463impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  (
t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6564ralrimiv 2748 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
)
6616ssdifssd 3445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
x } )  C_  X )
671, 4, 66acsficl2d 14557 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) )  <->  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
6867notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
69 ralnex 2676 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) x  e.  ( N `  t ) )
7068, 69syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
) )
7170ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `
 t ) ) )
7265, 71mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7372an32s 780 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7473ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
754, 5, 15, 17, 74ismri2dd 13814 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  e.  I )
7614, 75impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   ` cfv 5413   Fincfn 7068  Moorecmre 13762  mrClscmrc 13763  mrIndcmri 13764  ACScacs 13765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ocomp 13505  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-mri 13768  df-acs 13769  df-preset 14340  df-drs 14341  df-poset 14358  df-ipo 14533
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