Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfiindd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem acsfiindd 16501
 Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1 ACS
acsfiindd.2 mrCls
acsfiindd.3 mrInd
acsfiindd.4
Assertion
Ref Expression
acsfiindd

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7 ACS
21acsmred 15640 . . . . . 6 Moore
32ad2antrr 740 . . . . 5 Moore
4 acsfiindd.2 . . . . 5 mrCls
5 acsfiindd.3 . . . . 5 mrInd
6 simplr 770 . . . . 5
7 inss1 3643 . . . . . . 7
8 simpr 468 . . . . . . 7
97, 8sseldi 3416 . . . . . 6
109elpwid 3952 . . . . 5
113, 4, 5, 6, 10mrissmrid 15625 . . . 4
1211ralrimiva 2809 . . 3
13 dfss3 3408 . . 3
1412, 13sylibr 217 . 2
152adantr 472 . . 3 Moore
16 acsfiindd.4 . . . 4
18 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
2120simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13
2221difss2d 3552 . . . . . . . . . . . 12
23 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13
2423snssd 4108 . . . . . . . . . . . 12
2522, 24unssd 3601 . . . . . . . . . . 11
2620simprd 470 . . . . . . . . . . . 12
27 snfi 7668 . . . . . . . . . . . 12
28 unfi 7856 . . . . . . . . . . . 12
2926, 27, 28sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
30 elfpw 7894 . . . . . . . . . . 11
3125, 29, 30sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10
322ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . 13 Moore
33 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
34 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 elun2 3593 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
3937, 38eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . 14
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
414, 5, 32, 33, 40ismri2dad 15621 . . . . . . . . . . . 12
422ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15 Moore
4321adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 neldifsnd 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4543, 44ssneldd 3421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 difsnb 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948, 38syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049ssdifd 3558 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5147, 50eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15
5225adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5316ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5452, 53sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5538, 54eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . . . . 15
5742, 4, 51, 56mrcssd 15608 . . . . . . . . . . . . . 14
5857sseld 3417 . . . . . . . . . . . . 13
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
6041, 59mtod 182 . . . . . . . . . . 11
6160ex 441 . . . . . . . . . 10
6231, 61rspcimdv 3137 . . . . . . . . 9
6313, 62syl5bi 225 . . . . . . . 8
6463impancom 447 . . . . . . 7
6564ralrimiv 2808 . . . . . 6
6616ssdifssd 3560 . . . . . . . . . 10
671, 4, 66acsficl2d 16500 . . . . . . . . 9
6867notbid 301 . . . . . . . 8
69 ralnex 2834 . . . . . . . 8
7068, 69syl6bbr 271 . . . . . . 7
7170ad2antrr 740 . . . . . 6
7265, 71mpbird 240 . . . . 5
7372an32s 821 . . . 4
7473ralrimiva 2809 . . 3
754, 5, 15, 17, 74ismri2dd 15618 . 2
7614, 75impbida 850 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  csn 3959  cfv 5589  cfn 7587  Moorecmre 15566  mrClscmrc 15567  mrIndcmri 15568  ACScacs 15569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ocomp 15289  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-mri 15572  df-acs 15573  df-preset 16251  df-drs 16252  df-poset 16269  df-ipo 16476 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator