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Theorem acsfiindd 14296
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsfiindd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsfiindd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsfiindd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
acsfiindd  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables  x  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 13574 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
32ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
4 acsfiindd.2 . . . . 5  |-  N  =  (mrCls `  A )
5 acsfiindd.3 . . . . 5  |-  I  =  (mrInd `  A )
6 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  I )
7 inss1 3402 . . . . . . 7  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
~P S
8 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
97, 8sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ~P S )
109elpwid 3647 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  S )
113, 4, 5, 6, 10mrissmrid 13559 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  I )
1211ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
13 dfss3 3183 . . 3  |-  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  <->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
1412, 13sylibr 203 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )
152adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
16 acsfiindd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
1716adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  C_  X )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )
19 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( ~P ( S  \  { x }
)  i^i  Fin )  <->  ( t  C_  ( S  \  { x } )  /\  t  e.  Fin ) )
2018, 19sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  C_  ( S  \  {
x } )  /\  t  e.  Fin )
)
2120simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
2221difss2d 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  S )
23 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  x  e.  S )
2423snssd 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  { x }  C_  S )
2522, 24unssd 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
2620simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  Fin )
27 snfi 6957 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x }  e.  Fin
28 unfi 7140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  { x }  e.  Fin )  ->  ( t  u. 
{ x } )  e.  Fin )
2926, 27, 28sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  Fin )
30 elfpw 7173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) 
<->  ( ( t  u. 
{ x } ) 
C_  S  /\  (
t  u.  { x } )  e.  Fin ) )
3125, 29, 30sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
322ad4antr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
33 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  s  e.  I )
34 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  S )
35 snidg 3678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  { x } )
36 elun2 3356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x }  ->  x  e.  ( t  u.  { x }
) )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  ( t  u.  {
x } ) )
38 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  =  ( t  u.  {
x } ) )
3937, 38eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  s )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  x  e.  s )
414, 5, 32, 33, 40ismri2dad 13555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
422ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
4321adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
44 neldifsnd 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  ( S  \  {
x } ) )
4543, 44ssneldd 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  t )
46 difsnb 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  t  <->  ( t  \  { x } )  =  t )
4745, 46sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } )  =  t )
48 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  C_  ( t  u.  {
x } )
4948, 38syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  s )
5049ssdifd 3325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } ) 
C_  ( s  \  { x } ) )
5147, 50eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( s  \  {
x } ) )
5225adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
5316ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  S  C_  X
)
5452, 53sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  X )
5538, 54eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  C_  X )
5655ssdifssd 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  \  { x } ) 
C_  X )
5742, 4, 51, 56mrcssd 13542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( N `  t )  C_  ( N `  ( s  \  { x } ) ) )
5857sseld 3192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( x  e.  ( N `  t
)  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  ( x  e.  ( N `  t )  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
6041, 59mtod 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) )
6160ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6231, 61rspcimdv 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6313, 62syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6463impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  (
t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6564ralrimiv 2638 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
)
6616ssdifssd 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
x } )  C_  X )
671, 4, 66acsficl2d 14295 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) )  <->  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
6867notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
69 ralnex 2566 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) x  e.  ( N `  t ) )
7068, 69syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
) )
7170ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `
 t ) ) )
7265, 71mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7372an32s 779 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7473ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
754, 5, 15, 17, 74ismri2dd 13552 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  e.  I )
7614, 75impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   ` cfv 5271   Fincfn 6879  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  mrIndcmri 13502  ACScacs 13503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-mri 13506  df-acs 13507  df-preset 14078  df-drs 14079  df-poset 14096  df-ipo 14271
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