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Theorem acsfiindd 16501
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsfiindd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsfiindd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsfiindd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
acsfiindd  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables  x  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
21acsmred 15640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
32ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
4 acsfiindd.2 . . . . 5  |-  N  =  (mrCls `  A )
5 acsfiindd.3 . . . . 5  |-  I  =  (mrInd `  A )
6 simplr 770 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  I )
7 inss1 3643 . . . . . . 7  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
~P S
8 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
97, 8sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  ~P S )
109elpwid 3952 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  S )
113, 4, 5, 6, 10mrissmrid 15625 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I )  /\  s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  I )
1211ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
13 dfss3 3408 . . 3  |-  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  <->  A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I
)
1412, 13sylibr 217 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )
152adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
16 acsfiindd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
1716adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  C_  X )
18 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )
19 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( ~P ( S  \  { x }
)  i^i  Fin )  <->  ( t  C_  ( S  \  { x } )  /\  t  e.  Fin ) )
2018, 19sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  C_  ( S  \  {
x } )  /\  t  e.  Fin )
)
2120simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
2221difss2d 3552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  C_  S )
23 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  x  e.  S )
2423snssd 4108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  { x }  C_  S )
2522, 24unssd 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
2620simprd 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  t  e.  Fin )
27 snfi 7668 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x }  e.  Fin
28 unfi 7856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  { x }  e.  Fin )  ->  ( t  u. 
{ x } )  e.  Fin )
2926, 27, 28sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  Fin )
30 elfpw 7894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) 
<->  ( ( t  u. 
{ x } ) 
C_  S  /\  (
t  u.  { x } )  e.  Fin ) )
3125, 29, 30sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( t  u.  { x } )  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
322ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
33 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  s  e.  I )
34 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  S )
35 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  { x } )
36 elun2 3593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x }  ->  x  e.  ( t  u.  { x }
) )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  ( t  u.  {
x } ) )
38 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  =  ( t  u.  {
x } ) )
3937, 38eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  x  e.  s )
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  x  e.  s )
414, 5, 32, 33, 40ismri2dad 15621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
422ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
4321adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( S  \  { x } ) )
44 neldifsnd 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  ( S  \  {
x } ) )
4543, 44ssneldd 3421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  -.  x  e.  t )
46 difsnb 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  t  <->  ( t  \  { x } )  =  t )
4745, 46sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } )  =  t )
48 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  C_  ( t  u.  {
x } )
4948, 38syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  s )
5049ssdifd 3558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  \  { x } ) 
C_  ( s  \  { x } ) )
5147, 50eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  t  C_  ( s  \  {
x } ) )
5225adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  S )
5316ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  S  C_  X
)
5452, 53sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( t  u.  { x } ) 
C_  X )
5538, 54eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  s  C_  X )
5655ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  \  { x } ) 
C_  X )
5742, 4, 51, 56mrcssd 15608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( N `  t )  C_  ( N `  ( s  \  { x } ) ) )
5857sseld 3417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( x  e.  ( N `  t
)  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  ( x  e.  ( N `  t )  ->  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
6041, 59mtod 182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  /\  s  e.  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) )
6160ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin ) )  /\  s  =  ( t  u.  { x } ) )  ->  ( s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6231, 61rspcimdv 3137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A. s  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) s  e.  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6313, 62syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
)  ->  ( ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I  ->  -.  x  e.  ( N `  t
) ) )
6463impancom 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  (
t  e.  ( ~P ( S  \  {
x } )  i^i 
Fin )  ->  -.  x  e.  ( N `  t ) ) )
6564ralrimiv 2808 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
)
6616ssdifssd 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
x } )  C_  X )
671, 4, 66acsficl2d 16500 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) )  <->  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
6867notbid 301 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 t ) ) )
69 ralnex 2834 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )  <->  -.  E. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin ) x  e.  ( N `  t ) )
7068, 69syl6bbr 271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S 
\  { x }
)  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `  t )
) )
7170ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) )  <->  A. t  e.  ( ~P ( S  \  { x } )  i^i  Fin )  -.  x  e.  ( N `
 t ) ) )
7265, 71mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7372an32s 821 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
7473ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
754, 5, 15, 17, 74ismri2dd 15618 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I )  ->  S  e.  I )
7614, 75impbida 850 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   ` cfv 5589   Fincfn 7587  Moorecmre 15566  mrClscmrc 15567  mrIndcmri 15568  ACScacs 15569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ocomp 15289  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-mri 15572  df-acs 15573  df-preset 16251  df-drs 16252  df-poset 16269  df-ipo 16476
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