MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl2d Structured version   Unicode version

Theorem acsficl2d 15346
Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 15341. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsficld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsficld.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsficld.3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
acsficl2d  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, S    x, Y    x, N
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    X( x)

Proof of Theorem acsficl2d
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsficld.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2 acsficld.2 . . . 4  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 acsficld.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
41, 2, 3acsficld 15345 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin ) ) )
54eleq2d 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <-> 
Y  e.  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin ) ) ) )
61acsmred 14594 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
7 funmpt 5454 . . . 4  |-  Fun  (
z  e.  ~P X  |-> 
|^| { w  e.  A  |  z  C_  w }
)
82mrcfval 14546 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  N  =  ( z  e.  ~P X  |->  |^| { w  e.  A  |  z  C_  w } ) )
98funeqd 5439 . . . 4  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  ( Fun  N  <->  Fun  ( z  e.  ~P X  |->  |^| { w  e.  A  |  z  C_  w } ) ) )
107, 9mpbiri 233 . . 3  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  Fun  N )
11 eluniima 5967 . . 3  |-  ( Fun 
N  ->  ( Y  e.  U. ( N "
( ~P S  i^i  Fin ) )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
126, 10, 113syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin )
)  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x )
) )
135, 12bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   {crab 2719    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   |^|cint 4128    e. cmpt 4350   "cima 4843   Fun wfun 5412   ` cfv 5418   Fincfn 7310  Moorecmre 14520  mrClscmrc 14521  ACScacs 14523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ocomp 14259  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-preset 15098  df-drs 15099  df-poset 15116  df-ipo 15322
This theorem is referenced by:  acsfiindd  15347  acsmapd  15348
  Copyright terms: Public domain W3C validator