MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrscl Structured version   Unicode version

Theorem acsdrscl 15361
Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
acsdrscl  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X  /\  (toInc `  Y )  e. Dirset )  ->  ( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) )

Proof of Theorem acsdrscl
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5737 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  X  e.  dom ACS )
2 pwexg 4497 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom ACS  ->  ~P X  e.  _V )
3 elpw2g 4476 . . . . 5  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( Y  e.  ~P ~P X 
<->  Y  C_  ~P X
) )
41, 2, 33syl 20 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( Y  e.  ~P ~P X  <->  Y  C_  ~P X ) )
54biimpar 485 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  ->  Y  e.  ~P ~P X )
6 isacs3lem 15357 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
7 acsdrscl.f . . . . . . 7  |-  F  =  (mrCls `  C )
87isacs4lem 15359 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )  -> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) ) )
96, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) ) )
109simprd 463 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t )  =  U. ( F " t ) ) )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )
12 fveq2 5712 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  (toInc `  t )  =  (toInc `  Y ) )
1312eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( t  =  Y  ->  (
(toInc `  t )  e. Dirset  <-> 
(toInc `  Y )  e. Dirset ) )
14 unieq 4120 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Y  ->  U. t  =  U. Y )
1514fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  ( F `  U. t )  =  ( F `  U. Y ) )
16 imaeq2 5186 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Y  ->  ( F " t )  =  ( F " Y
) )
1716unieqd 4122 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  U. ( F " t )  = 
U. ( F " Y ) )
1815, 17eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( t  =  Y  ->  (
( F `  U. t )  =  U. ( F " t )  <-> 
( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) ) )
1913, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( t  =  Y  ->  (
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  <-> 
( (toInc `  Y
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. Y )  =  U. ( F
" Y ) ) ) )
2019rspcva 3092 . . 3  |-  ( ( Y  e.  ~P ~P X  /\  A. t  e. 
~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )  ->  ( (toInc `  Y )  e. Dirset  ->  ( F `  U. Y
)  =  U. ( F " Y ) ) )
215, 11, 20syl2anc 661 . 2  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  -> 
( (toInc `  Y
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. Y )  =  U. ( F
" Y ) ) )
22213impia 1184 1  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X  /\  (toInc `  Y )  e. Dirset )  ->  ( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   dom cdm 4861   "cima 4864   ` cfv 5439  Moorecmre 14541  mrClscmrc 14542  ACScacs 14544  Dirsetcdrs 15118  toInccipo 15342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ocomp 14280  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-preset 15119  df-drs 15120  df-poset 15137  df-ipo 15343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator